Quando um elétron no átomo de hidrogênio sofre uma transição de E_{3} para E_{2} ele emite um fóton com \lambda= 656,3 \mathrm{~nm} e de E_{3} para E_{1} com \lambda=102,6 \mathrm{~nm}. Encontre o comprimento de onda de luz emitido por um átomo que faz a transição de E_{2} para E_{1}.

Passo 1

O enunciado diz que em transições de E_3\to E_2 e de E_3\to E_1 são emitidos fótons com comprimentos de onda \lambda_{32}=656{,}3,nm e \lambda_{31}=102{,}6,nm. Pede-se \lambda_{21}, para a transição E_2\to E_1. O conteúdo necessário é a fórmula de Rydberg para o átomo de hidrogênio:
\frac{1}{\lambda_{n_i n_f}} \;=\; R\Bigl(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\Bigr).

Passo 2

Para obter a constante de Rydberg R, usamos a transição de n_i=3 para n_f=2. Assim
\frac{1}{\lambda_{32}} \;=\; R\Bigl(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\Bigr) \;=\; R\Bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\Bigr) \;=\; R\frac{5}{36}.
Logo,
R \;=\; \frac{1}{\lambda_{32}}\;\frac{36}{5}.

Passo 3

Substituindo \lambda_{32}=656{,}3,nm:
R = \frac{36}{5}\cdot\frac{1}{656{,}3\text{ nm}} \approx 0{,}01097\text{ nm}^{-1} \approx 1{,}097\times10^{7}\text{ m}^{-1}.

Passo 4

Para a transição n_i=2 para n_f=1, aplica-se
\frac{1}{\lambda_{21}} \;=\; R\Bigl(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\Bigr) \;=\; R\frac{3}{4}.
Isolando \lambda_{21},
\lambda_{21} = \frac{1}{R}\,\frac{4}{3}.

Passo 5

Substituindo R\approx1{,}097\times10^{7},m ^{-1}:
\lambda_{21} \approx \frac{4}{3\cdot1{,}097\times10^{7}\,\text{m}^{-1}} \approx 1{,}216\times10^{-7}\,\text{m} = 121{,}6\,\text{nm}.

Resposta

121{,}6\text{ nm}

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