Se um subconjunto
de um espaço vetorial
é linearmente independente, então o subconjunto
de
também o é.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um conjunto de três vetores,
, que é linearmente independente em um espaço vetorial
. A questão quer saber se, a partir desses vetores, formando um novo conjunto
, esse novo conjunto também será linearmente independente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como provar isso usando combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos
, então necessariamente
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse conceito ao conjunto
. Precisamos verificar se a única combinação linear desses vetores que resulta no zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, vamos supor que:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Como o conjunto
é linearmente independente, sabemos que os coeficientes que satisfazem essa combinação linear igual a zero são
,
e
.
Passo 7
Resolvendo essas equações:
- De
, - Substituindo na segunda equação:
ou seja, , - Substituindo em terceira:
ou seja, .
Passo 8
Como a única solução é
, isso prova que o conjunto
é linearmente independente.
Resposta
O subconjunto
é linearmente independente.