Quais dos conjuntos são subespaços vetoriais do espaço vetorial V=\mathcal{P}(\mathbb{R}) de todos os polinômios reais ?
W=\left\{p(t) \in V ; p(t)+p^{\prime}(t)=O\right\}\.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathcal{P}(\mathbb{R}) de todos os polinômios reais e o subconjunto
W=\{\,p(t)\in V \mid p(t)+p'(t)=O\,\}.
O que a questão pede: determinar se W é um subespaço vetorial de V, ou seja, identificar quais polinômios satisfazem a condição p+p'=O e, com isso, concluir se W é (ou não) subespaço.
Informações relevantes do enunciado:
\;V é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais.
\;W é o conjunto dos polinômios p tais que p+p'=O, onde p' é a derivada de p e O é o polinômio zero.

Passo 2

Entender uma propriedade básica sobre grau de polinômios e derivada — esta é a ferramenta principal aqui.
Teoria útil (explicação didática):
  • Se p(t) é um polinômio não nulo de grau n (ou seja, p(t)=a_n t^n+ termos de grau menor, com a_n\neq0 e n\ge1), então a derivada p'(t) é um polinômio de grau n-1. Isso porque a operação de derivar reduz o grau em 1: a derivada de a_n t^n é n a_n t^{n-1}.
  • Para o polinômio nulo O convenciona-se que ele tem "grau -\infty" ou simplesmente trata-se de caso separado.
Vou usar essa propriedade para analisar a equação p(t)+p'(t)=O.

Passo 3

Prova por contradição considerando um polinômio não nulo.
Suponha que exista p(t)\in W e p seja não nulo. Seja n=\deg p. Como p é não nulo, n é um inteiro \ge 0. Escrevamos o termo de maior grau:
p(t)=a_n t^n + (\text{termos de grau }<n),\quad a_n\neq0.
Então a derivada é
p'(t)=n a_n t^{n-1} + (\text{termos de grau }<n-1).
Agora somamos p(t)+p'(t). O termo de maior grau na soma é o termo de grau n vindo de p(t), porque p'(t) tem grau n-1 (ou é o polinômio zero se n=0). Logo o coeficiente do termo t^n em p+p' é exatamente a_n, que é não nulo. Portanto p(t)+p'(t) tem grau n e não pode ser o polinômio zero. Isso contradiz a hipótese de que p\in W, que exige p+p'=O.
Portanto não existe polinômio não nulo satisfazendo p+p'=O.

Passo 4

Tratar o caso n=0 (constante) separadamente para ficar bem claro.
Se p(t)=c é constante, então p'(t)=0 e a equação p+p'=O vira c+0=0, logo c=0. Assim o único polinômio constante que funciona é o polinômio zero.
Combinando Passos 3 e 4 concluímos que o único polinômio que satisfaz p+p'=O é o polinômio zero O.

Passo 5

Concluir qual é W e verificar que é subespaço.
Deduziu-se que
W=\{O\},
ou seja, W contém apenas o polinômio zero.
Agora verifico as propriedades de subespaço para W=\{O\}:
  • Contém o vetor zero: sim, O\in W.
  • Fechado para soma: O+O=O\in W.
  • Fechado para multiplicação por escalar: para todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, \alpha O=O\in W.
Logo W é um subespaço vetorial de V — é o subespaço trivial formado só pelo vetor zero.
Observação alternativa (curiosidade didática): se tratássemos a equação como uma equação diferencial p'+p=0 a solução geral em funções é p(t)=C e^{-t}, que não é polinomial para C\neq0; isso dá outra intuição de por que só o C=0 (polinômio zero) vale.

Resposta

W=\{O\}, portanto W é subespaço vetorial (o subespaço trivial).

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