Quais dos conjuntos são subespaços vetoriais do espaço vetorial
de todos os polinômios reais ?
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
de todos os polinômios reais e o subconjunto
O que a questão pede: determinar se
é um subespaço vetorial de
, ou seja, identificar quais polinômios satisfazem a condição
e, com isso, concluir se
é (ou não) subespaço.
Informações relevantes do enunciado:
é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais.
é o conjunto dos polinômios
tais que
, onde
é a derivada de
e
é o polinômio zero.
Passo 2
Entender uma propriedade básica sobre grau de polinômios e derivada — esta é a ferramenta principal aqui.
Teoria útil (explicação didática):
- Se
é um polinômio não nulo de grau (ou seja, termos de grau menor, com e ), então a derivada é um polinômio de grau . Isso porque a operação de derivar reduz o grau em 1: a derivada de é . - Para o polinômio nulo
convenciona-se que ele tem "grau " ou simplesmente trata-se de caso separado.
Vou usar essa propriedade para analisar a equação
.
Passo 3
Prova por contradição considerando um polinômio não nulo.
Suponha que exista
e
seja não nulo. Seja
. Como
é não nulo,
é um inteiro
. Escrevamos o termo de maior grau:
Então a derivada é
Agora somamos
. O termo de maior grau na soma é o termo de grau
vindo de
, porque
tem grau
(ou é o polinômio zero se
). Logo o coeficiente do termo
em
é exatamente
, que é não nulo. Portanto
tem grau
e não pode ser o polinômio zero. Isso contradiz a hipótese de que
, que exige
.
Portanto não existe polinômio não nulo satisfazendo
.
Passo 4
Tratar o caso
(constante) separadamente para ficar bem claro.
Se
é constante, então
e a equação
vira
, logo
. Assim o único polinômio constante que funciona é o polinômio zero.
Combinando Passos 3 e 4 concluímos que o único polinômio que satisfaz
é o polinômio zero
.
Passo 5
Concluir qual é
e verificar que é subespaço.
Deduziu-se que
ou seja,
contém apenas o polinômio zero.
Agora verifico as propriedades de subespaço para
:
- Contém o vetor zero: sim,
. - Fechado para soma:
. - Fechado para multiplicação por escalar: para todo escalar
, .
Logo
é um subespaço vetorial de
— é o subespaço trivial formado só pelo vetor zero.
Observação alternativa (curiosidade didática): se tratássemos a equação como uma equação diferencial
a solução geral em funções é
, que não é polinomial para
; isso dá outra intuição de por que só o
(polinômio zero) vale.