Para submergir totalmente em água e em azeite um bloco de madeira, é necessário aplicar forças para baixo de 210,0 \mathrm{~N} e 70,0 \mathrm{~N}, respectivamente. Sabendo-se que o volume do bloco é de 50,0 dm3 e que a densidade da água é igual a 1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3, determine a densidade do azeite.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a densidade do azeite:
  • Força necessária para submergir totalmente o bloco em água: 210{,}0\\ \mathrm{N}.
  • Força necessária para submergir totalmente o bloco em azeite: 70{,}0\\ \mathrm{N}.
  • Volume do bloco: 50{,}0\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Densidade da água: 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
O que é pedido: determinar a densidade do azeite (ou seja, \rho_{\text{azeite}}) usando esses dados.

Passo 2

Entendendo a física (princípio de Arquimedes) e a condição de equilíbrio:
  • O empuxo B (força para cima devido ao fluido) sobre um corpo totalmente imerso é dado por
B=\rho_{\text{fluido}}\,V\,g,
onde \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido, V é o volume deslocado (aqui o volume do bloco) e g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}). Expliquei: o empuxo é o peso do volume de fluido deslocado.
  • Ao empurrar o bloco para mantê‑lo totalmente submerso, existe uma força externa para baixo F aplicada por você. Em equilíbrio (bloco parado), a soma das forças para baixo (peso do bloco W mais a força aplicada F) deve ser igual ao empuxo para cima. Portanto a condição de equilíbrio é
W + F = B.
Isso significa que, conhecendo B e F, podemos achar o peso W do bloco; e conhecendo W e outro F para outro fluido, podemos achar o empuxo nesse fluido e, daí, a sua densidade.

Passo 3

Fazer conversões de unidades para trabalhar em SI (método mais seguro):
  • Volume: 1\\ \mathrm{dm^{3}}=1\\ \mathrm{L}=1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}. Logo
V = 50{,}0\\ \mathrm{dm^{3}} = 50{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} = 0{,}050\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Densidade da água: \,1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. (Expliquei: 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} porque 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} = (10^{-3}\\ \mathrm{kg})/(10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}})=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.)

Passo 4

Calcular o empuxo quando o bloco está totalmente submerso na água:
Usando \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á, V=0{,}050\\ \mathrm{m^{3}} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}},
B_{\text{água}} = \rho_{\text{água}}\,V\,g = 1000 \cdot 0{,}050 \cdot 9{,}8.áá
Calculemos passo a passo: 1000\cdot 0{,}050 = 50. Então
B_{\text{água}} = 50 \cdot 9{,}8 = 490\\ \mathrm{N}.á

Passo 5

Determinar o peso W do bloco usando a condição de equilíbrio na água:
Sabendo que para água a força aplicada foi F_{\text{água}}=210{,}0\\ \mathrm{N}á e W + F_{\text{água}} = B_{\text{água}}áá, temos
W = B_{\text{água}} - F_{\text{água}} = 490 - 210 = 280\\ \mathrm{N}.áá
Comentário didático: isso faz sentido fisicamente — o empuxo na água (490 N) é maior que o peso do bloco (280 N), por isso é necessário empurrar para baixo com 210 N para manter o bloco submerso.

Passo 6

Usar o caso do azeite para achar o empuxo nesse fluido e, depois, sua densidade:
Para azeite a força aplicada foi F_{\text{azeite}}=70{,}0\\ \mathrm{N}. Novamente em equilíbrio:
B_{\text{azeite}} = W + F_{\text{azeite}} = 280 + 70 = 350\\ \mathrm{N}.
Agora usar a fórmula do empuxo para achar \rho_{\text{azeite}}:
\rho_{\text{azeite}} = \frac{B_{\text{azeite}}}{V\,g} = \frac{350}{0{,}050 \cdot 9{,}8}.

Passo 7

Calcule \rho_{\text{azeite}} numericamente:
Primeiro calcule Vg = 0{,}050 \cdot 9{,}8 = 0{,}49. Então
\rho_{\text{azeite}} = \frac{350}{0{,}49} \approx 714{,}2857\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Converter para \mathrm{g/cm^{3}} (dividindo por 1000):
\rho_{\text{azeite}} \approx 0{,}714\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Arredondei para três algarismos significativos, compatível com os dados fornecidos.

Resposta

\rho_{\text{azeite}} = 0{,}714\\ \mathrm{g/cm^{3}} (ou 714\\ \mathrm{kg/m^{3}})

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