4- Um tanque rígido de 1 \mathrm{~m}^{3} contém hidrogênio a 250 kPa e 420 K . O gás agora é resfriado até que sua temperatura caia para 300 K . Determine (a) a pressão final no tanque e (b) o calor cedido pelo tanque.
Resp: 178,6 kPa; 180 kJ

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
V = 1\\ \text{m}^3,\quad P_1 = 250\\ \text{kPa},\quad T_1 = 420\\ \text{K},\quad T_2 = 300\\ \text{K}.
Perguntas:
(a) Determinar a pressão final P_2 no tanque.
(b) Determinar o calor cedido pelo tanque (quantidade de calor que sai do gás durante o resfriamento).

Passo 2

Observação física que vamos usar: o tanque é rígido, portanto o volume V é constante e a massa de gás m também é constante. Para um gás ideal vale a equação de estado
P V = m R T,
onde R é a constante específica do gás. Como m e V são constantes, ao dividir a equação para os estados 1 e 2 obtemos a relação direta entre pressão e temperatura:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{T_2}{T_1}\quad\Rightarrow\quad P_2 = P_1\frac{T_2}{T_1}.
Isto decorre de manipulações algébricas simples: escrevemos P_1V=mRT_1 e P_2V=mRT_2 e dividimos membro a membro.

Passo 3

Aplicando a fórmula obtida:
P_2 = 250\\ \text{kPa}\cdot\frac{300}{420}.
Simplificando \frac{300}{420}=\frac{5}{7}, temos
P_2 = 250\cdot\frac{5}{7}\\ \text{kPa}=178{,}571\ldots\\ \text{kPa}\approx 178{,}6\\ \text{kPa}.
Portanto a pressão final é 178{,}6\\ \text{kPa} (arredondado).

Passo 4

Agora vamos ao calor. Aplicamos a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado:
\Delta U = Q - W.
Num tanque rígido não há trabalho de expansão/compressão ( W=0), logo
Q = \Delta U.
Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura e pode ser escrita como
\Delta U = m c_v (T_2-T_1),
onde c_v é o calor específico a volume constante (unidade por massa). Assim precisamos calcular m e c_v para o hidrogênio.

Passo 5

Calculamos a constante específica do hidrogênio usando a constante universal R_u e a massa molar do \mathrm{H}_2. Tomamos
R_u = 8{,}3145\\ \text{kJ}\cdot\text{kmol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1},\qquad M_{\mathrm{H}_2}=2{,}016\\ \text{kg}\cdot\text{kmol}^{-1}.
A constante específica é
R = \frac{R_u}{M_{\mathrm{H}_2}}=\frac{8{,}3145}{2{,}016}\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}=4{,}123\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Passo 6

Calculamos a massa m do gás no tanque usando m=\dfrac{P_1 V}{R T_1}. Atenção às unidades: P em kPa, V em m³, R em kJ/kgK e P\cdot V em kJ (pois 1\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3=1\\ \text{kJ}).
m=\frac{250\cdot 1}{4{,}123\cdot 420}\\ \text{kg}=\frac{250}{1732{,}66}\\ \text{kg}=0{,}14435\\ \text{kg}.

Passo 7

Precisamos de c_v. Para um gás diatômico (aproximação adequada para \mathrm{H}_2 nessa faixa de temperatura) usa-se
c_v = \frac{5}{2}R
(pois as energias internas translacional e rotacional somam 5/2 graus de liberdade em aproximação clássica). Assim
c_v = \frac{5}{2}\cdot 4{,}123\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}=10{,}3075\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Passo 8

Calculamos o calor Q:
Q = m c_v (T_2-T_1)=0{,}14435\cdot 10{,}3075\cdot(300-420)\\ \text{kJ}.
Primeiro T_2-T_1=-120\\ \text{K}. Então
Q=0{,}14435\cdot 10{,}3075\cdot(-120)\\ \text{kJ}=-178{,}6\\ \text{kJ}.
O sinal negativo indica que o gás cede calor ao ambiente. Portanto o calor cedido pelo tanque (valor absoluto) é 178{,}6\\ \text{kJ}, que arredondando dá aproximadamente 180\\ \text{kJ}, conforme a resposta esperada.

Resposta

(a) 178{,}6\\ \text{kPa}\n(b) 180\\ \text{kJ}

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