Uma substância se decompõe com uma taxa temporal proporcional à quantidade
de substância. A princípio, não se conhece a constante de proporcionalidade, mas sabe-se que 100 gramas dessa substância se reduzem pela metade em 1 hora. Em quanto tempo 100 gramas se reduzem a 20 gramas?
Passo 1
O enunciado descreve uma decomposição com taxa proporcional à quantidade
. Isso significa que
onde
é a constante de proporcionalidade (taxa de decaimento). Sabemos também que o tempo de meia-vida é de
hora, ou seja,
. Vamos:
- resolver a EDO para
; - usar o dado da meia-vida para determinar
; - calcular o tempo necessário para passar de
g a g.
Passo 2
Integramos a equação
. Separando variáveis e integrando:
Exponenciando, obtemos a forma geral da solução:
onde
é a quantidade inicial.
Passo 3
Usamos o fato de que em
hora a quantidade cai à metade:
Dividindo por
e isolando
:
Passo 4
Agora queremos o tempo
tal que
g, partindo de
g. Substituindo na solução:
Passo 5
Tomando logaritmo em ambos os lados:
Passo 6
Em horas,
ou seja, cerca de
h
min.