Uma substância se decompõe com uma taxa temporal proporcional à quantidade Q(t) de substância. A princípio, não se conhece a constante de proporcionalidade, mas sabe-se que 100 gramas dessa substância se reduzem pela metade em 1 hora. Em quanto tempo 100 gramas se reduzem a 20 gramas?

Passo 1

O enunciado descreve uma decomposição com taxa proporcional à quantidade Q(t). Isso significa que
\frac{dQ}{dt} = -k\,Q(t),
onde k > 0 é a constante de proporcionalidade (taxa de decaimento). Sabemos também que o tempo de meia-vida é de 1 hora, ou seja, Q(1) = \tfrac{1}{2} Q(0). Vamos:
  • resolver a EDO para Q(t);
  • usar o dado da meia-vida para determinar k;
  • calcular o tempo necessário para passar de 100 g a 20 g.

Passo 2

Integramos a equação \frac{dQ}{dt}=-kQ. Separando variáveis e integrando:
\int \frac{dQ}{Q}=-\int k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln Q=-kt+C.
Exponenciando, obtemos a forma geral da solução:
Q(t)=Q_0\,e^{-k\,t},
onde Q_0=Q(0) é a quantidade inicial.

Passo 3

Usamos o fato de que em 1 hora a quantidade cai à metade:
Q(1)=Q_0\,e^{-k\cdot1}=\frac12Q_0.
Dividindo por Q_0 e isolando k:
e^{-k}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad k=\ln 2.

Passo 4

Agora queremos o tempo t tal que Q(t)=20 g, partindo de Q_0=100 g. Substituindo na solução:
20=100\,e^{-(\ln 2)\,t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{20}{100}=e^{-(\ln2)\,t} \quad\Longrightarrow\quad \frac15=e^{-(\ln2)\,t}.

Passo 5

Tomando logaritmo em ambos os lados:
\ln\!\bigl(\tfrac15\bigr)=-(\ln2)\,t \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{-\ln(1/5)}{\ln2} =\frac{\ln5}{\ln2}.

Passo 6

Em horas,
t=\frac{\ln5}{\ln2}\approx\frac{1,609}{0,693}\approx2,32\text{ horas},
ou seja, cerca de 2 h 19 min.

Resposta

\displaystyle t=\frac{\ln5}{\ln2}\approx2,32\text{ horas.}

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