2.9 Substitua a força P de 250 N pelo sistema força-binário equivalente em G .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Substituir a força P de 250\\ \mathrm{N} pelo sistema força-binário (ou seja, pela força resultante aplicada em G mais o binário/couple equivalente em G).
Informações dadas (peguei estes dados da imagem):
  • A força P tem intensidade 250\\ \mathrm{N} e aponta para baixo no ponto A.
  • A distância entre A e G na direção x é 60\\ \mathrm{mm} (ou seja, A está 60\\ \mathrm{mm} à esquerda de G ao longo do eixo x).
  • A distância entre A e a linha média na direção z é 30\\ \mathrm{mm} (ou seja, A está deslocado 30\\ \mathrm{mm} na direção do eixo z em relação a G).
  • Os eixos mostrados na figura: y para cima (vertical), x para a direita, z completando o sistema de eixos (sentidos usados abaixo).

Passo 2

Conceito que vamos usar (com explicação amigável):
  • Um sistema força-binário equivalente em um ponto G consiste na mesma força resultante aplicada em G e num momento (binário) em G que representa o efeito rotacional da força quando aplicada em A.
  • A força resultante em G é simplesmente a mesma força \mathbf{P} (mesma magnitude e direção).
  • O momento em G devido à força aplicada em A é dado por
\mathbf{M}_G = \mathbf{r}_{A/G} \times \mathbf{P},
onde \mathbf{r}_{A/G} é o vetor posição de A relativo a G (ou seja \mathbf{r}_A - \mathbf{r}_G), e \times é o produto vetorial (use a regra da mão direita para o sentido).

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas e expressão da força:
  • Vou usar os versores padrão: \mathbf{i} ao longo de x, \mathbf{j} ao longo de y e \mathbf{k} ao longo de z.
  • A força P aponta para baixo (direção negativa de y), logo escrevemos
\mathbf{P} = -250\,\mathbf{j}\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Vetor posição de A relativo a G (peguei as distâncias da imagem e converti para metros):
  • Distância em x: x_A - x_G = -60\\ \mathrm{mm} = -0,060\\ \mathrm{m} (negativo porque A está à esquerda de G).
  • Distância em y: y_A - y_G = 0 (mesma altura).
  • Distância em z: z_A - z_G = -30\\ \mathrm{mm} = -0,030\\ \mathrm{m} (sinal escolhido conforme orientação mostrada na figura; o valor absoluto é 30\\ \mathrm{mm}).
    Portanto o vetor posição é
\mathbf{r}_{A/G} = -0,060\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} -0,030\,\mathbf{k}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo do momento em G pelo produto vetorial (vou desenvolver os componentes passo a passo):
  • Temos
\mathbf{r}_{A/G} = (-0,060,\;0,\;-0,030)\\ \mathrm{m},\qquad \mathbf{P} = (0,\;-250,\;0)\\ \mathrm{N}.
  • Usando a fórmula por componentes para o produto vetorial \mathbf{M}_G = \mathbf{r}_{A/G}\times\mathbf{P}:
M_{G,x} = r_y P_z - r_z P_y,
M_{G,y} = r_z P_x - r_x P_z,
M_{G,z} = r_x P_y - r_y P_x.
  • Substituindo os números:
M_{G,x} = 0\cdot 0 - (-0,030)\cdot(-250) = -0,030\cdot 250 = -7,5\\ \mathrm{N\cdot m},
M_{G,y} = (-0,030)\cdot 0 - (-0,060)\cdot 0 = 0\\ \mathrm{N\cdot m},
M_{G,z} = (-0,060)\cdot(-250) - 0\cdot 0 = 0,060\cdot 250 = 15,0\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Assim o vetor momento em G é
\mathbf{M}_G = -7,5\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + 15,0\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Interpretação final (resumo prático para a prova):
  • O sistema força-binário equivalente em G é formado por:
    • A força \mathbf{P} aplicada em G: \mathbf{P} = -250\,\mathbf{j}\\ \mathrm{N}.
    • O binário (momento) em G: \mathbf{M}_G = -7{,}5\,\mathbf{i} + 15{,}0\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Em termos de aplicação rápida na prova: escreva sempre o vetor força e o vetor momento em G. Se pedirem magnitude do momento total, pode calcular |\mathbf{M}_G| = \sqrt{(-7{,}5)^2 + 15{,}0^2}\\ \mathrm{N\cdot m}, mas geralmente a forma componente é o que se exige.

Resposta

\mathbf{F} = -250\,\mathbf{j}\\ \mathrm{N}
\mathbf{M}_G = -7{,}5\,\mathbf{i} + 15{,}0\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m}

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