Substitua s=j omega em todas as equações da questão 1, e obtenha a parte real e imaginária de T(j omega). Além disso, obtenha a forma polar (magnitude e fase) para cada equação.
T(s) & =5(s+3)(s+6) T(s) & =10(s+7)(s+10)(s+20)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra substituir T1(s) = 5(s+3)(s+6), T2(s) = 10(s+7)(s+10)(s+20), em duas funções de transferência
e daí extrair a parte real e imaginária de , além de escrever cada uma em forma polar (ou seja, módulo e fase).
Conteúdo que vamos usar:
  • Álgebra de números complexos (saber trabalhar com ).
  • Separar real e imaginário usando conjugado.
  • Calcular módulo e fase .

Passo 2

Substituindo em T1(jomega) = 5l(jomega+3r)l(jomega+6r) = 5(3 + jomega)(6 + jomega) :
(3 + jomega)(6 + jomega) = 3cdot 6 + 3(jomega) + 6(jomega) + (jomega)^2 = 18 + j9omega - omega^2 = (18 - omega^2) + j,9omega
Primeiro a gente multiplica o denominador:
T1(jomega) = 5(18-omega^2) + j,9omega
Então

Passo 3

Para achar a parte real e imaginária, multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
T1(jomega) = 5;(18-omega^2) - j,9omega(18-omega^2)^2 + (9omega)^2
Logo
ReT1 = 5,(18-omega^2)(18-omega^2)^2 + 81,omega^2, ImT1 = -5,(9omega)(18-omega^2)^2 + 81,omega^2

Passo 4

Forma polar de |T1(jomega)| = 5raiz(18-omega^2)^2 + (9omega)^2 :
  • Módulo
ang<= T1(jomega) = -arctan!l(9omega18-omega^2r),
  • Fase
porque o argumento de é .

Passo 5

Agora T2(jomega) = 10,(jomega+7)(jomega+10)(jomega+20) = 10,(7 + jomega)(10 + jomega)(20 + jomega) :
(10 + jomega)(20 + jomega) = 200 + j30omega - omega^2 = (200-omega^2) + j,30omega
Denominador:

Passo 6

De novo, usamos o conjugado pra separar real e imaginário:
T2(jomega) = 10;(7+jomega)l((200-omega^2)-j30omegar)(200-omega^2)^2 + (30omega)^2
Multiplicando numerador:
(7+jomega)l((200-omega^2)-j30omegar) = (1400 +23omega^2) + j,(-omega^3 -10omega)
Então
ReT2 = 10,(1400 +23omega^2)(200-omega^2)^2 + 900,omega^2, ImT2 = 10,(-omega^3 -10omega)(200-omega^2)^2 + 900,omega^2

Passo 7

Forma polar de |T2(jomega)| = 10,raiz7^2 + omega^2raiz(200-omega^2)^2 + (30omega)^2 :
  • Módulo
ang<= T2(jomega) = underbracearctan!l(tfracomega7r)arg(7+jomega) ;-; underbracearctan!l(tfrac30omega200-omega^2r)arg((200-omega^2)+j30omega)
  • Fase

Resposta

Resumindo tudo:
  1. Para


    ,
    .
  2. Para


    ,
    .

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