Substitua s=j omega em todas as equações da questão 1, e obtenha a parte real e imaginária de T(j omega). Além disso, obtenha a forma polar (magnitude e fase) para cada equação.
T(s)=s+5(s+10)^2

Passo 1

Beleza, a gente tem a função de transferência
T(s)=s+5(s+10)^2
e o enunciado pede pra substituir s=jomega e, depois, achar:
1) a parte real e a parte imaginária de j^2=-1,
2) a forma polar (magnitude e fase) de .
Conteúdo: álgebra de números complexos e representação fasorial.
O que vamos precisar:
  • saber que ,
  • expandir quadrado de soma,
  • multiplicar por conjugado para separar real e imaginário,
  • usar definições de magnitude e fase de número complexo.

Passo 2

Substituindo T(s)=s+5(s+10)^2 em
T(jomega)=jomega+5(jomega+10)^2
ficamos com

Passo 3

Calcular numerador e denominador separadamente:
Numerador:
jomega+5 = 5 + jomega
Denominador:
(jomega+10)^2 = (10 + jomega)^2 =10^2 +2cdot10cdot jomega + (jomega)^2 =100 +20jomega -omega^2 =(100-omega^2)+j,20omega
Logo
T(jomega)=5 + jomega(100-omega^2)+j,20omega

Passo 4

Pra separar real e im. a gente multiplica numerador e denominador pelo conjugado do denominador
T(jomega) =(5+jomega)l[(100-omega^2)-j,20omegar] l[(100-omega^2)+j,20omegar] l[(100-omega^2)-j,20omegar]:

Passo 5

Expandindo o numerador:
500 -5omega^2 -20omega^2 = 500 +15omega^2
100omega - omega^3 -100omega = -omega^3
Somando tudo:
Real: 500 +15omega^2 ;+; j,(-omega^3)
Imaginário: (100-omega^2)^2+(20omega)^2 =10000 -200omega^2 +omega^4 +400omega^2 =10000+200omega^2+omega^4
Então o numerador vira
O denominador é

Passo 6

Portanto
T(jomega) =500+15omega^210000+200omega^2+omega^4 ;+;j;-omega^310000+200omega^2+omega^4
Pronto, aí estão as partes real e imaginária:
Real
Imaginária

Passo 7

Agora a forma polar. Qual a magnitude?
|T(jomega)| = raiz(500+15omega^2)^2+(-omega^3)^2 raiz(100-omega^2)^2+(20omega)^2
E a fase é a diferença dos argumentos:
ang<= T(jomega) = arctan!l(-omega^3500+15omega^2r) ;-; arctan!l(20omega100-omega^2r)

Resposta

Real ,
Imaginária .
Magnitude:
.
Fase:

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