Substitua o parâmetro
por um coeficiente real tal que o sistema linear tenha a classificação indicada.
a. SPD (sistema possível e determinado)
a. SPD (sistema possível e determinado)
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear com parâmetro
- A incógnitas são .
- O parâmetro a escolher é
. - Objetivo: determinar os valores de
para os quais o sistema tem uma única solução.]
Passo 2
Para decidir quando um sistema linear 2×2 tem única solução é útil olhar para a matriz dos coeficientes. Vou explicar isso de forma simples e prática.
Considere uma matriz
O determinante de
é definido por
Interpretando de forma direta: se
então a matriz é invertível e o sistema linear associado tem exatamente uma solução (é SPD). Se
as equações podem ser dependentes (infinitas soluções) ou inconsistentes (nenhuma solução). Portanto, a condição prática para unicidade é
.
Passo 3
A matriz dos coeficientes do nosso sistema é
porque a segunda equação não tem
(coeficiente de
é
) e tem coeficiente
para
.
Calculo do determinante:
Pela regra do passo anterior, o sistema terá única solução exatamente quando
Isso implica
Passo 4
Interpretação dos casos:
- Se
a segunda equação fica , ou seja , que é impossível: sistema inconsistente (nenhuma solução). - Se
a segunda equação determina de forma única:
Substituindo na primeira equação obtemos
:
Isolando
:
Colocando em forma simplificada:
válidas para todo
. Assim, para qualquer
o sistema é SPD e a solução é dada acima.