Substitua o parâmetro k por um coeficiente real tal que o sistema linear tenha a classificação indicada.
a. SPD (sistema possível e determinado)
\left\{\begin{array}{r} 3 x+2 y=4 \\\ k \cdot y=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com parâmetro k\) e pede para encontrar um valor real para \(k\) de modo que o sistema seja SPD (sistema possível e determinado), ou seja, tenha exatamente uma solução. As informações do enunciado são: - As equações do sistema são \[\begin{cases} 3x+2y=4,\\[4pt] k\cdot y=6. \end{cases}
  • A incógnitas são x\] e \(y.
  • O parâmetro a escolher é k\in\mathbb{R}.
  • Objetivo: determinar os valores de k para os quais o sistema tem uma única solução.]

Passo 2

Para decidir quando um sistema linear 2×2 tem única solução é útil olhar para a matriz dos coeficientes. Vou explicar isso de forma simples e prática.
Considere uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}.
O determinante de A é definido por
\det(A)=ad-bc.
Interpretando de forma direta: se \det(A)\neq 0 então a matriz é invertível e o sistema linear associado tem exatamente uma solução (é SPD). Se \det(A)=0 as equações podem ser dependentes (infinitas soluções) ou inconsistentes (nenhuma solução). Portanto, a condição prática para unicidade é \det(A)\neq 0.

Passo 3

A matriz dos coeficientes do nosso sistema é
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\[4pt] 0 & k \end{pmatrix},
porque a segunda equação não tem x (coeficiente de x é 0) e tem coeficiente k para y.
Calculo do determinante:
\det(A)=3\cdot k - 2\cdot 0 = 3k.
Pela regra do passo anterior, o sistema terá única solução exatamente quando
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3k\neq 0.
Isso implica
k\neq 0.]

Passo 4

Interpretação dos casos:
  • Se k=0 a segunda equação fica 0\cdot y=6, ou seja 0=6, que é impossível: sistema inconsistente (nenhuma solução).
  • Se k\neq 0 a segunda equação determina y de forma única:
y=\frac{6}{k}.
Substituindo na primeira equação obtemos x:
3x+2\cdot\frac{6}{k}=4.
Isolando x:
3x=4-\frac{12}{k}, \qquad x=\frac{4-\dfrac{12}{k}}{3}.
Colocando em forma simplificada:
x=\frac{4k-12}{3k}=\frac{4(k-3)}{3k}, \qquad y=\frac{6}{k},
válidas para todo k\neq 0. Assim, para qualquer k\neq 0 o sistema é SPD e a solução é dada acima.

Resposta

k\neq 0

Exercícios relacionados