Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
Passo 1
O enunciado pede para substituir a quantificação negativa pela quantificação equivalente sem a negação. A fórmula dada é
.
As informações relevantes que temos são: a presença do quantificador existencial , uma negação externa
que recai sobre esse quantificador, e dentro do escopo do existencial a fórmula
. A missão é eliminar a negação que está em frente ao quantificador, transformando em uma fórmula equivalente que não tenha essa negação imediatamente antes do quantificador.
As informações relevantes que temos são: a presença do quantificador existencial
Passo 2
Vou ensinar a regra principal que usamos aqui: a equivalência entre negação e quantificador. A regra diz
O que isso significa, explicado com calma: a afirmação “não existe
tal que
seja verdadeira” é logicamente equivalente a "para todo
, não
". Em palavras: se não há nenhum elemento que satisfaça
, então qualquer elemento do domínio falha em satisfazer
. Essa é uma equivalência padrão em lógica de predicados. Aqui
é qualquer fórmula que dependa de
.
Passo 3
Aplicando a regra do Passo 2 à nossa fórmula, identifique
como
. Então
transforma-se, pela equivalência
, em
Aqui eu apenas movi a negação que estava antes do quantificador para dentro, colocando uma negação sobre
. Note que agora temos duas negações consecutivas sobre a mesma subfórmula.
Passo 4
Outra regra útil e simples: eliminação da dupla negação. A equivalência é
ou seja, negar duas vezes volta à fórmula original. Essa é uma lei básica da lógica clássica (se você trabalha em lógica intuicionista, essa equivalência precisa de cuidado, mas em lógica clássica vale normalmente).
Passo 5
Aplicando a eliminação da dupla negação da regra do Passo 4 à subfórmula
obtida no Passo 3, chegamos a uma fórmula equivalente em que a negação inicial junto ao quantificador foi eliminada. Vou deixar a fórmula final apenas na seção de resposta, conforme pedido.