Traduza para a linguagem simbólica as seguintes funções proposicionais quantificadas, utilizando como predicado a letra maiúscula que representa o predicado da frase.
Os convocados se apresentaram, mas alguns não foram selecionados.

Passo 1

O enunciado pede: traduzir para a linguagem simbólica a frase “Os convocados se apresentaram, mas alguns não foram selecionados.”\n
Informações dadas:
  • Temos duas afirmações na mesma frase: (i) “Os convocados se apresentaram” e (ii) “alguns não foram selecionados”.\n
  • Devemos usar letras maiúsculas como predicados que representem as propriedades/ações da frase (por exemplo, uma letra para “se apresentou” e outra para “foi selecionado”).\n
  • Não foi fornecido texto adicional (por exemplo, uma letra que nomeie “convocado”), então vou assumir que o universo da quantificação é “os convocados” (ou seja, todos os quantificadores variam sobre os convocados).

Passo 2

Definição dos predicados e do universo (isso é obrigatório antes de simbolizar):\n
  • Vou usar P(x) para o predicado “x se apresentou”. Aqui x é uma pessoa (um convocado) e P(x) significa “x se apresentou”.\n
  • Vou usar S(x) para o predicado “x foi selecionado”. Aqui S(x) significa “x foi selecionado”.\n
  • Universo/ domínio: todos os x são “os convocados”. Assim, quantificadores \forall x e \exists x devem ser lidos como "para todo convocado x" e "existe algum convocado x".\n
    Observação amiga: sempre que eu escrever P(x) lembre que estou dizendo “x se apresentou” e quando escrever S(x) estou dizendo “x foi selecionado”.

Passo 3

Traduzindo a primeira parte: “Os convocados se apresentaram.”\n
  • “Os convocados” + “se apresentaram” quer dizer que todos os convocados apresentaram-se. Em lógica, “todos” vira quantificador universal \forall.\n
  • A tradução direta é \forall x\, P(x), que se lê “para todo convocado x, P(x) (x se apresentou)”.\n
    Breve explicação do símbolo: \forall significa “para todo” ou “para cada”; o x é a variável que representa um convocado; P(x) é a propriedade “se apresentou”. Exemplo simples: se houver 3 convocados a,b,c e todos eles realmente se apresentaram, então \forall x\, P(x) é verdadeiro.

Passo 4

Traduzindo a segunda parte: “alguns não foram selecionados.”\n
  • “Alguns” em lógica costuma ser traduzido por quantificador existencial \exists, que significa “existe pelo menos um”.\n
  • “Não foram selecionados” é a negação do predicado S(x), ou seja \neg S(x).\n
  • Assim a tradução natural é \exists x\, \neg S(x), que se lê “existe um convocado x tal que não S(x) (x não foi selecionado)”.\n
    Observação sobre ambiguidade de linguagem natural: em português “alguns” pode querer dizer “mais de um” em linguagem coloquial, mas em lógica traduzimos por “existe pelo menos um”. Se precisássemos dizer “pelo menos dois”, usaríamos uma formulação diferente; aqui o habitual é \exists x.

Passo 5

Relacionando as duas partes e escolhendo a forma final mais fiel ao enunciado.\n
  • A frase inteira tem um “mas” que liga as duas afirmações; logicamente isso corresponde a uma conjunção que afirma que as duas proposições verdadeiras ocorrem juntas. Logo usamos \land (e lógico).\n
  • Uma tradução direta e clara é
(\forall x\, P(x)) \land (\exists x\, \neg S(x)).
Isto diz: “todos os convocados se apresentaram” e “existe algum convocado que não foi selecionado”.\n
  • Se quisermos ser ainda mais explícitos em ligar o ‘alguns’ ao fato de terem se apresentado (às vezes desejável para deixar claro que os ‘alguns’ pertencem ao grupo que se apresentou), podemos escrever a forma equivalente (dado que \forall x\,P(x) já assegura P(x) para cada x):
(\forall x\, P(x)) \land (\exists x\, (P(x)\land \neg S(x))).
Essa segunda forma deixa explícito que o indivíduo que não foi selecionado também se apresentou. Na prática, pela validade lógica, as duas são equivalentes quando o universo é “os convocados” e a primeira conjunctiva já afirma P(x) para todo x.

Passo 6

Checando interpretação e exemplos rápidos para fixar:\n
  • Se houver convocados a,b,c e todos se apresentaram, mas somente a e b foram selecionados e c não, então (\forall x\, P(x)) é verdadeiro e \exists x\, \neg S(x) é verdadeiro (por c), logo a conjunção é verdadeira — corresponde ao enunciado.\n
  • Se nenhum convocado tivesse se apresentado, a primeira parte seria falsa e a conjunção inteira seria falsa, o que bate com o sentido natural da frase.\n
    Força aí — você já sabe traduzir frases com “todos” e “alguns”!

Resposta

(\forall x\, P(x)) \land (\exists x\, \neg S(x))

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