Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
\sim \forall \mathrm{x}(\mathrm{Cx} \rightarrow \sim \mathrm{Dx})

Passo 1

O enunciado pede: “Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.”
A fórmula dada é \sim \forall x (Cx \rightarrow \sim Dx).
Informações relevantes: temos uma negação aplicada a um quantificador universal \forall x e, dentro do escopo, uma implicação Cx \rightarrow \sim Dx. O objetivo é reescrever a fórmula de modo que a negação não esteja sobre o quantificador inicial, ou seja, eliminar a negação externa transformando-a em uma quantificação equivalente sem a negação exterior.

Passo 2

Vamos usar a regra de negação de quantificadores. A regra diz que a negação de um quantificador universal é equivalente a um quantificador existencial com a negação do predicado. Em símbolos:
\sim \forall x\,\Phi(x)\\ \equiv\\ \exists x\,\sim \Phi(x).
Explicando por que: “ \forall x\,\Phi(x)” significa “para todo x, \Phi(x) é verdadeira”. Negar isso significa que "não é verdade que para todo x \Phi(x)". Isso equivale a dizer “existe algum x para o qual \Phi(x) é falsa”, ou seja, \exists x\,\sim\Phi(x). Aplicando essa regra diretamente à nossa fórmula obtemos:
\sim \forall x (Cx \rightarrow \sim Dx)\\ \equiv\\ \exists x\,\sim (Cx \rightarrow \sim Dx).

Passo 3

Agora precisamos eliminar a negação que está aplicada a uma implicação interna: \sim (Cx \rightarrow \sim Dx). Use a equivalência entre implicação e disjunção, e a lei de De Morgan/negação da implicação. Primeiro lembrando que
A \rightarrow B\\ \equiv\\ \sim A \lor B.
Negando ambos os lados:
\sim (A \rightarrow B)\\ \equiv\\ \sim(\sim A \lor B).
Pela lei de De Morgan isso vira
\sim(\sim A \lor B)\\ \equiv\\ A \land \sim B.
Portanto temos a identidade prática importante:
\sim (A \rightarrow B)\\ \equiv\\ A \land \sim B.
Aplicando com A igual a Cx e B igual a \sim Dx, obtemos:
\sim (Cx \rightarrow \sim Dx)\\ \equiv\\ Cx \land \sim(\sim Dx).

Passo 4

Substituímos o resultado do Passo 3 na fórmula do Passo 2. Assim:
\exists x\,\sim (Cx \rightarrow \sim Dx)\\ \equiv\\ \exists x\,\big(Cx \land \sim(\sim Dx)\big).
Agora aplicamos a lei da dupla negação, que diz que \sim(\sim P)\\ \equiv\\ P. Aqui P é Dx, logo \sim(\sim Dx)\\ \equiv\\ Dx. Portanto a fórmula simplifica para
\exists x\,(Cx \land Dx).

Passo 5

Interpretação intuitiva do resultado (para fixar): a fórmula original \sim \forall x (Cx \rightarrow \sim Dx) dizia "não é verdade que para todo x, se Cx então não Dx". Isso equivale a "existe algum x tal que Cx e também Dx". Isso bate com a forma final \exists x (Cx \land Dx). Pequeno exemplo concreto: se Cx = “é um estudante” e Dx = “tem bolsa”, a forma final afirma “existe algum indivíduo que é estudante e tem bolsa”, que é justamente a negação de “todos os estudantes não têm bolsa”.

Resposta

\exists x (Cx \land Dx)

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