Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
Passo 1
O enunciado pede: “Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.”
A fórmula dada é .
Informações relevantes: temos uma negação aplicada a um quantificador universal e, dentro do escopo, uma implicação
. O objetivo é reescrever a fórmula de modo que a negação não esteja sobre o quantificador inicial, ou seja, eliminar a negação externa transformando-a em uma quantificação equivalente sem a negação exterior.
A fórmula dada é
Informações relevantes: temos uma negação aplicada a um quantificador universal
Passo 2
Vamos usar a regra de negação de quantificadores. A regra diz que a negação de um quantificador universal é equivalente a um quantificador existencial com a negação do predicado. Em símbolos:
Explicando por que: “
” significa “para todo
,
é verdadeira”. Negar isso significa que "não é verdade que para todo
". Isso equivale a dizer “existe algum
para o qual
é falsa”, ou seja,
. Aplicando essa regra diretamente à nossa fórmula obtemos:
Passo 3
Agora precisamos eliminar a negação que está aplicada a uma implicação interna:
. Use a equivalência entre implicação e disjunção, e a lei de De Morgan/negação da implicação. Primeiro lembrando que
Negando ambos os lados:
Pela lei de De Morgan isso vira
Portanto temos a identidade prática importante:
Aplicando com
igual a
e
igual a
, obtemos:
Passo 4
Substituímos o resultado do Passo 3 na fórmula do Passo 2. Assim:
Agora aplicamos a lei da dupla negação, que diz que
. Aqui
é
, logo
. Portanto a fórmula simplifica para
Passo 5
Interpretação intuitiva do resultado (para fixar): a fórmula original
dizia "não é verdade que para todo
, se
então não
". Isso equivale a "existe algum
tal que
e também
". Isso bate com a forma final
. Pequeno exemplo concreto: se
= “é um estudante” e
= “tem bolsa”, a forma final afirma “existe algum indivíduo que é estudante e tem bolsa”, que é justamente a negação de “todos os estudantes não têm bolsa”.