1. Substitua a Taxa de Cisalhamento ( \dot{\gamma} ): Para esta geometria, \dot{\gamma}=r \frac{d \omega}{d r}. Substitua esta expressão e a relação da tensão de cisalhamento da etapa 1 na equação de Newton ( \tau=\mu \dot{\gamma} ) para obter uma equação diferencial para \omega.

Passo 1

O enunciado pede para usar, nesta geometria de escoamento entre cilindros, a definição da taxa de cisalhamento
\dot{\gamma} = r \,\frac{d\omega}{dr}
e a lei de Newton para um fluido newtoniano
\tau = \mu\,\dot{\gamma}
juntamente com a expressão da tensão de cisalhamento obtida na etapa 1 (que, por equilíbrio de momento em coordenadas cilíndricas, é da forma \tau(r)=\dfrac{C}{r^{2}}). O objetivo é montar a equação diferencial que governa \omega(r).

Passo 2

Reescrevendo a lei de Newton com a taxa de cisalhamento específica:
\tau = \mu \,\dot{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad \tau(r) = \mu \,\Bigl(r \,\frac{d\omega}{dr}\Bigr).

Passo 3

Substituindo a expressão de \tau(r) da etapa 1,
\frac{C}{r^{2}} = \mu\,\Bigl(r \,\frac{d\omega}{dr}\Bigr).

Passo 4

Isolando a derivada de \omega:
\mu\,r\,\frac{d\omega}{dr} = \frac{C}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\omega}{dr} = \frac{C}{\mu\,r^{3}}.

Resposta

A equação diferencial para \omega(r) é
\frac{d\omega}{dr} = \frac{C}{\mu\,r^{3}}.

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