Se \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo \Sigma\left(a_{n}+b_{n}\right) ? Justifique sua resposta.
89. Crie uma série geométrica \sum a r^{n-1} que convirja ao número 5 se
a. a=2
b. a=13 / 2.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, diz que \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, e pergunta sobre a série termo a termo \sum\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr). Em seguida, pede para construir uma série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{\,n-1}
que convirja ao valor 5, nos casos a=2 e a=\tfrac{13}{2}. Vamos usar:
  1. Para a primeira parte, a propriedade de soma de séries convergente e divergente.
  2. Para a segunda, a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Se \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, então
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}.
Como a soma de uma série convergente com uma divergente é divergente, concluímos que \sum\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr) diverge.

Passo 3

Para construir uma série geométrica que convirja a um valor S, usamos a fórmula
\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{\,n-1} =\frac{a}{1-r},
válida se \lvert r\rvert<1. Queremos \frac{a}{1-r}=5, ou seja
1-r=\frac{a}{5} \quad\Longrightarrow\quad r=1-\frac{a}{5}.

Passo 4

Caso a=2, temos
r=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}.
Logo a série é
\sum_{n=1}^{\infty}2\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{n-1},
que converge a 5 pois 2/(1-\tfrac{3}{5})=2/(2/5)=5.

Passo 5

Caso a=\tfrac{13}{2}, temos
r=1-\frac{\tfrac{13}{2}}{5} =1-\frac{13}{10} =-\frac{3}{10}.
Logo a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{13}{2}\bigl(-\tfrac{3}{10}\bigr)^{n-1},
que converge a 5 pois \tfrac{13/2}{1-(-3/10)}=\tfrac{13/2}{13/10}=5.

Resposta

A série \sum\bigl(a_{n}+b_{n}\bigr) diverge.
Para a série geométrica com soma 5:
a. Se a=2, tome \sum_{n=1}^{\infty}2\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{n-1}.
b. Se a=\tfrac{13}{2}, tome \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{13}{2}\bigl(-\tfrac{3}{10}\bigr)^{n-1}.

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