1. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \operatorname{senh} k}{3 e^{2 k}}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\operatorname{sinh} k}{3\,e^{2k}}.
O conteúdo envolvido é séries infinitas e geométricas. Vamos usar a definição de \operatorname{sinh} k e depois reconhecer duas séries geométricas.

Passo 2

Usando a definição
\operatorname{sinh} k = \frac{e^{k} - e^{-k}}{2},
o termo geral fica
\frac{(-1)^{k}\operatorname{sinh} k}{3\,e^{2k}} = \frac{(-1)^{k}}{3\,e^{2k}}\;\frac{e^{k}-e^{-k}}{2} = \frac{(-1)^{k}}{6}\bigl(e^{-k}-e^{-3k}\bigr).

Passo 3

A série se separa em duas somas:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\operatorname{sinh} k}{3\,e^{2k}} = \frac{1}{6}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\bigl(e^{-k}-e^{-3k}\bigr) = \frac{1}{6}\Bigl(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}e^{-k} \;-\;\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}e^{-3k}\Bigr).

Passo 4

Cada série é geométrica:
  • Para \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}e^{-k} temos razão r=-e^{-1}, logo
\sum_{k=1}^{\infty}(-e^{-1})^{k} =\frac{-e^{-1}}{1-(-e^{-1})} =\frac{-e^{-1}}{1+e^{-1}} =-\frac{1}{e+1}.
  • Para \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}e^{-3k} temos razão r=-e^{-3}, logo
\sum_{k=1}^{\infty}(-e^{-3})^{k} =\frac{-e^{-3}}{1+e^{-3}} =-\frac{1}{e^{3}+1}.

Passo 5

Substituindo na expressão original:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\operatorname{sinh} k}{3\,e^{2k}} =\frac{1}{6}\Bigl(-\tfrac{1}{e+1}-\bigl(-\tfrac{1}{e^{3}+1}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{e^{3}+1}-\frac{1}{e+1}\Bigr).

Resposta

\frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{e^{3}+1}-\frac{1}{e+1}\Bigr).

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