\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Informações dadas e o que se busca:
\text{Dado: } \left(\frac{2}{3}\right)\\ \text{é a razão envolvida,}\quad k=1,2,3,\dotséã
\text{Objetivo: encontrar o valor numérico da soma infinita acima.}é

Passo 2

Verificar se a série converge (preciso disso antes de somar):
Definimos a_{k}=k r^{k} com r=\frac{2}{3}. Aplicamos o teste da razão:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=\left|\frac{(k+1)r^{k+1}}{k r^{k}}\right|=\frac{k+1}{k}|r|\xrightarrow[k\to\infty]{}|r|.
Como |r|=\left|\frac{2}{3}\right|<1, a razão limite é menor que 1, logo a série converge absolutamente. Então faz sentido calcular sua soma.

Passo 3

Lembrar a soma da série geométrica básica e como obtê‑la:
Para |r|<1 vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Derivação rápida (intuição): os somatórios parciais são \displaystyle S_{n}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r} e, tomando n\to\infty, como r^{n+1}\to0, obtemos \frac{1}{1-r}.

Passo 4

Transformar a série que temos em uma relacionada à derivada da geométrica:
Se diferenciarmos membro a membro a fórmula da série geométrica (válido para |r|<1), obtemos
\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1}
e diferenciando o lado fechado
\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{1-r}\right)=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Portanto
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.

Passo 5

Obter a soma desejada multiplicando por r:
Multiplicando a igualdade anterior por r segue
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Essa é a fórmula geral que vamos usar, válida para |r|<1.

Passo 6

Aplicar a fórmula ao caso r=\frac{2}{3}:
Primeiro calculemos 1-r:
1-r=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Logo
(1-r)^{2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}.
Agora usemos a fórmula
\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}=\frac{\frac{2}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}\cdot 9=\frac{18}{3}=6.

Passo 7

Cheque rápido por intuição (opcional, para ganhar confiança):
Os primeiros termos são
1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3},\quad 2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9},\quad 3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{24}{27}=\frac{8}{9},\dots
A soma parcial vai aumentando e tende ao valor calculado 6, então o resultado faz sentido.

Resposta

6

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