Como |r|=\left|\frac{2}{3}\right|<1, a razão limite é menor que 1, logo a série converge absolutamente. Então faz sentido calcular sua soma.
Passo 3
Lembrar a soma da série geométrica básica e como obtê‑la:
Para |r|<1 vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Derivação rápida (intuição): os somatórios parciais são \displaystyle S_{n}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r} e, tomando n\to\infty, como r^{n+1}\to0, obtemos \frac{1}{1-r}.
Passo 4
Transformar a série que temos em uma relacionada à derivada da geométrica:
Se diferenciarmos membro a membro a fórmula da série geométrica (válido para |r|<1), obtemos
\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1}