Questão 4. Use o princípio da indução para demonstrar a fórmula do Binômio de Newton:
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos, usando o princípio da indução, a seguinte fórmula para todo
pertencente a
:
Informações e dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
O que devemos provar: que a igualdade acima vale para todo inteiro positivo
. A técnica exigida pelo enunciado é indução matemática.
Passo 2
Base da indução: verificar o caso
. Calculemos os dois lados.
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
O lado direito, usando a soma de
a
, é
Usando
e
, isso dá
Portanto, o caso
é verdadeiro porque ambos os lados coincidem.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que a fórmula seja verdadeira para um certo
; isto é, suponha que
Nosso objetivo é provar que a fórmula vale também para
, isto é:
Passo 4
Começamos a partir do lado esquerdo para
:
Substituindo a hipótese de indução para
obtemos
Agora distribuímos
sobre a soma e separamos em duas somas:
Reescrevendo expoentes para realçar
, temos
Passo 5
Reindexamos a segunda soma usando
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Substituindo e trocando o nome do índice de volta para
(padrão usual), obtemos
Agora podemos juntar as somas termo a termo porque ambas estão indexadas com potências
. Separemos os termos extremos e os termos intermediários:
- Para
só aparece o termo da primeira soma: . - Para
só aparece o termo da segunda soma: . - Para
aparecem os dois termos e podemos somar os coeficientes:
Passo 6
Usamos agora a identidade de Pascal para os coeficientes:
Vou demonstrar rapidamente essa identidade algébricamente (passo a passo): comece com as definições em fatoriais,
Somando:
Colocando em denominador comum
e simplificando chegamos a
(A versão combinatória: escolher
de
pode ser feito escolhendo
dentre os primeiros
OU escolhendo
dentre os primeiros
e incluindo um elemento especial; essas duas maneiras são disjuntas, daí a soma.)
Aplicando essa identidade aos coeficientes na soma do Passo 5, obtemos
Isso é exatamente a soma para
de
a
:
Passo 7
Concluímos a etapa de indução: mostramos que se a fórmula vale para
então ela vale para
. Juntando a verificação do caso base
(Passo 2) com o passo indutivo (Passos 3–6), pelo princípio da indução a fórmula é verdadeira para todo
. Mandando um incentivo: ótimo trabalho por aguentar a leitura até aqui — a indução costuma dar esse clique de compreensão depois de ver uns poucos exemplos!