Questão 4. Use o princípio da indução para demonstrar a fórmula do Binômio de Newton:
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k} y^{k}, \quad n \in \mathbb{N}^{*} .

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos, usando o princípio da indução, a seguinte fórmula para todo n pertencente a \mathbb{N}^{*}:
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n-k} y^{\,k}.
Informações e dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
\text{(i) a potência }(x+y)^{n}\text{ para }n\in\mathbb{N}^{*};ê
\text{(ii) o somatório na forma }\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n-k} y^{\,k};ó
\text{(iii) o símbolo }\binom{n}{k}\text{ denota coeficiente binomial, que pode ser definido como } \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\text{ para }0\le k\le n.í
O que devemos provar: que a igualdade acima vale para todo inteiro positivo n. A técnica exigida pelo enunciado é indução matemática.

Passo 2

Base da indução: verificar o caso n=1. Calculemos os dois lados.
O lado esquerdo é
(x+y)^{1}=x+y.
O lado direito, usando a soma de k=0 a 1, é
\sum_{k=0}^{1}\binom{1}{k} x^{\,1-k} y^{\,k} =\binom{1}{0}x^{1}y^{0}+\binom{1}{1}x^{0}y^{1}.
Usando \binom{1}{0}=1 e \binom{1}{1}=1, isso dá
x+y.
Portanto, o caso n=1 é verdadeiro porque ambos os lados coincidem.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que a fórmula seja verdadeira para um certo n\in\mathbb{N}^{*}; isto é, suponha que
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n-k} y^{\,k}.
Nosso objetivo é provar que a fórmula vale também para n+1, isto é:
(x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k} x^{\,n+1-k} y^{\,k}.

Passo 4

Começamos a partir do lado esquerdo para n+1:
(x+y)^{n+1}=(x+y)\,(x+y)^{n}.
Substituindo a hipótese de indução para (x+y)^{n} obtemos
(x+y)^{n+1}=(x+y)\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n-k} y^{\,k}.
Agora distribuímos x+y sobre a soma e separamos em duas somas:
(x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n-k+1} y^{\,k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n-k} y^{\,k+1}.
Reescrevendo expoentes para realçar n+1, temos
(x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n+1-k} y^{\,k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n+1-(k+1)} y^{\,k+1}.

Passo 5

Reindexamos a segunda soma usando j=k+1. Quando k vai de 0 a n, j vai de 1 a n+1. Substituindo e trocando o nome do índice de volta para k (padrão usual), obtemos
(x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n+1-k} y^{\,k}+\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1} x^{\,n+1-k} y^{\,k}.
Agora podemos juntar as somas termo a termo porque ambas estão indexadas com potências x^{\,n+1-k}y^{\,k}. Separemos os termos extremos e os termos intermediários:
  • Para k=0 só aparece o termo da primeira soma: \binom{n}{0}x^{\,n+1}.
  • Para k=n+1 só aparece o termo da segunda soma: \binom{n}{n}y^{\,n+1}.
  • Para 1\le k\le n aparecem os dois termos e podemos somar os coeficientes:
(x+y)^{n+1}=\binom{n}{0}x^{\,n+1}+\left(\sum_{k=1}^{n}\big(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\big)x^{\,n+1-k}y^{\,k}\right)+\binom{n}{n}y^{\,n+1}.

Passo 6

Usamos agora a identidade de Pascal para os coeficientes:
\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}\quad\text{para }1\le k\le n.
Vou demonstrar rapidamente essa identidade algébricamente (passo a passo): comece com as definições em fatoriais,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad \binom{n}{k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}.
Somando:
\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}.
Colocando em denominador comum k!(n-k+1)! e simplificando chegamos a
\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\frac{n!(n+1)}{k!(n+1-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\binom{n+1}{k}.
(A versão combinatória: escolher k de n+1 pode ser feito escolhendo k dentre os primeiros n OU escolhendo k-1 dentre os primeiros n e incluindo um elemento especial; essas duas maneiras são disjuntas, daí a soma.)
Aplicando essa identidade aos coeficientes na soma do Passo 5, obtemos
(x+y)^{n+1}=\binom{n+1}{0}x^{\,n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}x^{\,n+1-k}y^{\,k}+\binom{n+1}{n+1}y^{\,n+1}.
Isso é exatamente a soma para k de 0 a n+1:
(x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k} x^{\,n+1-k} y^{\,k}.

Passo 7

Concluímos a etapa de indução: mostramos que se a fórmula vale para n então ela vale para n+1. Juntando a verificação do caso base n=1 (Passo 2) com o passo indutivo (Passos 3–6), pelo princípio da indução a fórmula é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}^{*}. Mandando um incentivo: ótimo trabalho por aguentar a leitura até aqui — a indução costuma dar esse clique de compreensão depois de ver uns poucos exemplos!

Resposta

(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{\,n-k} y^{\,k}

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