\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n+1) 4^{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n+1)4^{2n+1}}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Temos uma soma de termos gerais dependentes de n, começando em n=1 até infinito.
  • Cada termo é \dfrac{10^{n}}{(n+1)4^{2n+1}}.
  • Precisamos transformar essa soma em uma expressão fechada (uma fórmula geralmente envolvendo funções elementares, por ex. logaritmo) e apresentar o valor exato.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do termo geral para ver uma forma mais manejável. Observe que
4^{2n+1}=4\cdot 4^{2n}=4\cdot(4^{2})^{n}=4\cdot 16^{n}.
Assim o termo geral vira
\frac{10^{n}}{(n+1)4^{2n+1}}=\frac{10^{n}}{(n+1)\,4\cdot 16^{n}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{10^{n}}{(n+1)16^{n}}.
Agora podemos escrever a soma como fator constante vezes uma série em potência:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{n}}{(n+1)4^{2n+1}}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(\dfrac{10}{16}\right)^{n}}{n+1}.

Passo 3

Definimos uma variável para a potência, para ficar mais claro. Seja
x=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}.
Então a série fica
\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+1},
com |x|=\dfrac{5}{8}<1, logo a série de potências converge (isso garante que as manipulações a seguir são válidas). Nosso objetivo agora é obter uma fórmula fechada para \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n+1}.

Passo 4

Recorde (ou derivemos agora) uma identidade clássica: a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}\qquad\text{para }|x|<1.
Integramos termo a termo essa série em x (essa operação é válida para |x|<1) para obter uma série cujo termo genérico tem denominador n+1. Integrando de 0 a x:
\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}\,dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt.
No lado esquerdo podemos trocar soma e integral:
\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x} t^{n}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}.
No lado direito a integral dá -\ln(1-x). Portanto
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}=-\ln(1-x).

Passo 5

A expressão anterior é muito útil; queremos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n+1}. Reescrevendo a identidade do Passo 4 dividindo por x,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+1}=\frac{-\ln(1-x)}{x}.
Essa soma começa em n=0. Subtraindo o termo n=0 (que é \dfrac{x^{0}}{0+1}=1) obtemos a soma que queremos:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+1}-1=\frac{-\ln(1-x)}{x}-1.
Podemos reorganizar como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+1}=\frac{-\ln(1-x)-x}{x}.

Passo 6

Agora voltamos ao nosso x=\dfrac{5}{8} e à constante \dfrac{1}{4}. Substituindo na expressão da Passo 3:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{n}}{(n+1)4^{2n+1}}=\frac{1}{4}\left(\frac{-\ln(1-x)-x}{x}\right).
Com x=\dfrac{5}{8} temos 1-x=\dfrac{3}{8}. Substituindo e simplificando passo a passo:
\frac{-\ln(1-x)-x}{x}=\frac{-\ln\!\left(\dfrac{3}{8}\right)-\dfrac{5}{8}}{\dfrac{5}{8}} =\left(-\ln\!\left(\dfrac{3}{8}\right)-\dfrac{5}{8}\right)\cdot\frac{8}{5}.
Multiplicando por \dfrac{1}{4}:
\frac{1}{4}\cdot\left[\left(-\ln\!\left(\dfrac{3}{8}\right)-\dfrac{5}{8}\right)\cdot\frac{8}{5}\right] =\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{5}\left(-\ln\!\left(\dfrac{3}{8}\right)\right)-\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{5}\cdot\frac{5}{8}.
Simplificando os fatores:
\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{5}=\frac{2}{5}, \qquad \frac{1}{4}\cdot\frac{8}{5}\cdot\frac{5}{8}=\frac{1}{4}.
Portanto a soma vale
\frac{2}{5}\left(-\ln\!\left(\dfrac{3}{8}\right)\right)-\frac{1}{4}.
Por fim note que -\ln\!\left(\dfrac{3}{8}\right)=\ln\!\left(\dfrac{8}{3}\right), de modo que uma forma mais limpa é
\frac{2}{5}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)-\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)-\frac{1}{4}

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