\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n+1) 4^{2 n+1}}
Passo 1
O enunciado pede o valor da soma infinita
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Temos uma soma de termos gerais dependentes de
, começando em até infinito. - Cada termo é
. - Precisamos transformar essa soma em uma expressão fechada (uma fórmula geralmente envolvendo funções elementares, por ex. logaritmo) e apresentar o valor exato.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do termo geral para ver uma forma mais manejável. Observe que
Assim o termo geral vira
Agora podemos escrever a soma como fator constante vezes uma série em potência:
Passo 3
Definimos uma variável para a potência, para ficar mais claro. Seja
Então a série fica
com
, logo a série de potências converge (isso garante que as manipulações a seguir são válidas). Nosso objetivo agora é obter uma fórmula fechada para
.
Passo 4
Recorde (ou derivemos agora) uma identidade clássica: a série geométrica
Integramos termo a termo essa série em
(essa operação é válida para
) para obter uma série cujo termo genérico tem denominador
. Integrando de
a
:
No lado esquerdo podemos trocar soma e integral:
No lado direito a integral dá
. Portanto
Passo 5
A expressão anterior é muito útil; queremos
. Reescrevendo a identidade do Passo 4 dividindo por
,
Essa soma começa em
. Subtraindo o termo
(que é
) obtemos a soma que queremos:
Podemos reorganizar como
Passo 6
Agora voltamos ao nosso
e à constante
. Substituindo na expressão da Passo 3:
Com
temos
. Substituindo e simplificando passo a passo:
Multiplicando por
:
Simplificando os fatores:
Portanto a soma vale
Por fim note que
, de modo que uma forma mais limpa é