1. \sum_{k=1}^{\infty} \ln \left(\frac{k}{k+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \ln\!\Bigl(\frac{k}{k+1}\Bigr).
O conteúdo aqui envolve séries infinitas e a propriedade de logaritmo que transforma soma em logaritmo de produto, permitindo identificar um produto telescópico.

Passo 2

Definimos a soma parcial
S_{n} = \sum_{k=1}^{n} \ln\!\Bigl(\frac{k}{k+1}\Bigr).
Usando a propriedade \ln a + \ln b = \ln(ab), obtemos
S_{n} = \ln\!\Bigl(\prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1}\Bigr).

Passo 3

Calculamos o produto telescópico
\prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}.
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S_{n} = \ln\!\Bigl(\tfrac{1}{n+1}\Bigr) = -\ln(n+1).

Passo 4

Para ver o comportamento quando n\to\infty, note que \ln(n+1)\to\infty, então
S_{n} = -\ln(n+1)\longrightarrow -\infty.
Isso significa que a série não converge a um valor finito, mas diverge para -\infty.

Resposta

A série diverge, com soma parcial tendendo a -\infty.

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