1. 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\ldots=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \quad(0!=1)

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
e pede encontrar sua soma como função de x. Vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência e, em seguida, reconhecer a expansão em série de Taylor de uma função conhecida.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a a_k = \frac{x^k}{k!}. Calculamos
L = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{x^{k+1}/(k+1)!}{x^k/k!}\right| = \lim_{k\to\infty}\frac{|x|}{k+1} = 0.
Como L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}, o raio de convergência é R=\infty.

Passo 3

Sabemos que a função exponencial é definida pela sua série de Maclaurin:
e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}.
Como a série dada coincide termo a termo com essa expansão e possui o mesmo raio de convergência infinito, concluímos que sua soma é e^x.

Resposta

e^x

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