1. \lim _{n \rightarrow \infty} n \operatorname{sen}\left(\frac{2}{n}\right)
  2. \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{sen}^{3} n}{n}

Passo 1

O enunciado pede dois limites de sequência:
\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\sin\bigl(\tfrac{2}{n}\bigr) e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^{3}(n)}{n}.
Vamos usar, no primeiro caso, o fato de que para x\to0 vale a aproximação \sin x\sim x, e no segundo caso aplicaremos o Teorema do Confronto (ou “Sandwich”), já que \sin^{3}(n) é sempre limitado entre -1 e 1.

Passo 2

Considere a_n = n\sin\bigl(\tfrac{2}{n}\bigr). Como n\to\infty, \tfrac{2}{n}\to0, e pela equivalência de primeira ordem temos
\sin\bigl(\tfrac{2}{n}\bigr)=\tfrac{2}{n}+o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Multiplicando por n,
a_n = n\Bigl(\tfrac{2}{n}+o(\tfrac{1}{n})\Bigr) =2+o(1),
que converge para 2.

Passo 3

Considere b_n = \frac{\sin^{3}(n)}{n}. Como para toda n vale -1\le\sin^{3}(n)\le1, ao dividir por n>0 obtemos
-\frac{1}{n}\;\le\;b_n\;\le\;\frac{1}{n}.
E como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\pm\frac{1}{n}=0, pelo Teorema do Confronto segue que b_n\to0.

Resposta

(1) \;2
(2) \;0

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