\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série infinita
O conteúdo principal aqui é séries infinitas do tipo geométrico e o truque de usar diferenciação de séries para gerar o fator
.
Passo 2
Começamos da série geométrica básica: para
vale
Diferenciando ambos os lados em relação a
, obtemos
Multiplicando por
, surge a fórmula
Passo 3
No nosso caso, queremos
. Substituindo na fórmula acima: