\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}}.
O conteúdo principal aqui é séries infinitas do tipo geométrico e o truque de usar diferenciação de séries para gerar o fator n.

Passo 2

Começamos da série geométrica básica: para |x|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{1 - x}\Bigr) = \frac{1}{(1 - x)^{2}}.
Multiplicando por x, surge a fórmula
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n} = \frac{x}{(1 - x)^{2}}.

Passo 3

No nosso caso, queremos x = \tfrac{1}{5}. Substituindo na fórmula acima:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} n\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^{n} = \frac{\tfrac{1}{5}}{\bigl(1 - \tfrac{1}{5}\bigr)^{2}} = \frac{\tfrac{1}{5}}{\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2}} = \frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{16}{25}} = \frac{1}{5}\cdot\frac{25}{16} = \frac{5}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{16}

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