\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede o valor da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{(2n+1)!}.
O conteúdo envolvido é reconhecimento de séries de Taylor (Maclaurin) de funções elementares, em particular da função seno.

Passo 2

Lembramos a série de Maclaurin de \sin x:
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \, x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Em particular, para x = \sqrt{3} temos
\sin(\sqrt{3}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,(\sqrt{3})^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sqrt{3}\,\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,3^{n}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Observando que (-3)^{n}=(-1)^{n}3^{n}, concluímos
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,3^{n}}{(2n+1)!} = \frac{\sin(\sqrt{3})}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin(\sqrt{3})}{\sqrt{3}}

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