\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2){n}}{n{n}}

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{n}}
ou seja, determinar se ela converge e, se possível, estimar o valor da soma. O conteúdo envolve testes de convergência de séries (especialmente o teste da raiz) e, após confirmar convergência absoluta, uma aproximação numérica por somas parciais.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: seja a_n = \tfrac{(-2)^n}{n^n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{n^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n} =0.
Como 0<1, a série converge absolutamente. Logo, ela converge.

Passo 3

Para estimar o valor da soma, vamos computar algumas somas parciais
S_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{(-2)^n}{n^n}.
Em particular:
S_1 = -2,\quad S_2 = -2 + 1 = -1,\quad S_3 = -1 - \tfrac{8}{27}\approx -1,2963,
S_4 \approx -1,2338,\quad S_5 \approx -1,2440,\quad S_6 \approx -1,2427,\quad S_7 \approx -1,2428,\quad S_8 \approx -1,2428.
Vemos que a soma estabiliza bem em torno de -1,2428.

Resposta

A série converge absolutamente e o valor aproximado da soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n^{n}}\approx -1,2428.

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