\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3} USE O TESTE DA RAIZ

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{2n^{2} + 3}
e pede para usar o teste da raiz. Lembrando que o teste da raiz analisa
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}},
onde a_{n} = \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+3}. Se L<1 a série converge, se L>1 diverge e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Escrevemos a n-ésima raiz do termo geral:
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+3}} = \frac{(n^{2}+1)^{1/n}}{(2n^{2}+3)^{1/n}}.
Para n grande, n^{2}+1\sim n^{2} e 2n^{2}+3\sim 2n^{2}, então
(n^{2}+1)^{1/n}\sim(n^{2})^{1/n}=n^{2/n} e (2n^{2}+3)^{1/n}\sim(2n^{2})^{1/n}=2^{1/n}n^{2/n}.

Passo 3

Como n^{2/n} = e^{\frac{2\ln n}{n}}\to e^{0}=1 e 2^{1/n}=e^{\frac{\ln2}{n}}\to1, temos
\sqrt[n]{a_{n}} \;\longrightarrow\; \frac{1}{1} =1.
Portanto
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} = 1,
e o teste da raiz é inconclusivo.

Passo 4

Quando o teste da raiz é inconclusivo, a gente verifica se o termo geral tende a zero. Aqui
\lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+3} = \frac{1}{2}\neq 0.
Como o termo geral não vai a zero, a série não pode convergir (teste da divergência).

Resposta

A série diverge.

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