Resolva o seguinte problema de valor inicial pelo método da transformada de Laplace.
\begin{cases}y^{\prime}-6 y & =0 \\\ y(2) & =4\end{cases}

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos resolver, pelo método da transformada de Laplace, a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(t)-6\,y(t)=0
com condição inicial fora de t=0, a saber
y(2)=4.
Para aplicar Laplace usamos a propriedade da derivada, \mathcal L\{y'\}(s)=sY(s)-y(0), mas como o dado inicial não está em t=0, vamos fazer uma mudança de variável para deslocar o instante inicial para zero.

Passo 2

Definimos uma nova função deslocada no tempo:
z(t)=y(t+2),
logo
z'(t)=y'(t+2).
Substituindo na equação original em t+2 obtemos
z'(t)-6\,z(t)=0
com condição inicial
z(0)=y(2)=4.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em t sobre
z'(t)-6\,z(t)=0.
Usando
\mathcal L\{z'\}(s)=sZ(s)-z(0)
e
\mathcal L\{z\}(s)=Z(s),
temos
sZ(s)-z(0)-6Z(s)=0.
Como z(0)=4,
(s-6)\,Z(s)=4 \quad\Longrightarrow\quad Z(s)=\frac{4}{s-6}.

Passo 4

Fazendo a transformada inversa, lembrando que
\mathcal L^{-1}\{\tfrac1{s-6}\}(t)=e^{6t},
obtém-se
z(t)=4\,e^{6t}.

Passo 5

Voltando à variável original, basta substituir t por t-2:
y(t)=z(t-2)=4\,e^{6(t-2)}=4\,e^{6t-12}.

Resposta

y(t)=4\,e^{6(t-2)}.

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