Resolva o seguinte problema de valor inicial pelo método da transformada de Laplace.
\begin{cases}y^{\prime}+4 y & =10 \\\ y(0) & =2,8\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial com a equação diferencial
y' + 4y = 10
e a condição inicial
y(0) = 2,8.
O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace, usando as propriedades
L\{y'\} = sY(s) - y(0) e L\{1\} = \tfrac{1}{s}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
\;y' + 4y = 10.
Isso dá
L\{y'\} + 4\,L\{y\} = L\{10\}
ou seja
\bigl(sY(s) - 2,8\bigr) + 4\,Y(s) = 10 \cdot \frac{1}{s}.

Passo 3

Reunindo termos em Y(s), temos
(s + 4)\,Y(s) = \frac{10}{s} + 2,8 = \frac{2,8\,s + 10}{s},
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Y(s) = \frac{2,8\,s + 10}{s\,(s + 4)}.
Fazendo frações parciais:
\frac{2,8\,s + 10}{s(s+4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+4},
com
2,8\,s + 10 = A(s+4) + B\,s = (A+B)\,s + 4A.
Comparando coeficientes,
A + B = 2,8, \quad 4A = 10 \quad\Longrightarrow\quad A = 2,5,\; B = 0,3.
Assim
Y(s) = \frac{2,5}{s} + \frac{0,3}{s+4}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa em cada termo, obtemos
y(t) = 2,5 + 0,3\,e^{-4t}.
Verificamos que y(0)=2,5+0,3=2,8, de acordo com a condição inicial.

Resposta

y(t) = 2,5 + 0,3\,e^{-4t}.

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