1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(-10)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(-10)^{n}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar o teste da razão (d’Alembert), que é adequado quando aparecem fatoriais e potências.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão calculando
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
onde a_n = \frac{n!}{(-10)^n}. Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{(-10)^{\,n+1}}}{\frac{n!}{(-10)^n}} = \frac{(n+1)!\,(-10)^n}{n!\,(-10)^{\,n+1}} = \frac{n+1}{10}\,\frac{(-10)^n}{(-10)^n}\,(-1) = -\frac{n+1}{10}.
Tomando o valor absoluto:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n+1}{10}.

Passo 3

Agora o limite quando n\to\infty é
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{10} = \infty.
Como L>1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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