• \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n^{2}+n+1}{\left(n^{2}+n\right)^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n^{2}+n+1}{\left(n^{2}+n\right)^{2}}.
  • Informação útil imediata que podemos extrair do termo geral: \,n^{2}+n=n(n+1)\,.
    Nada mais é pedido além da soma numérica da série.

Passo 2

Simplificação do termo geral e ideia de decomposição:
  • Reescrevendo o denominador:
\left(n^{2}+n\right)^{2} = \bigl(n(n+1)\bigr)^{2} = n^{2}(n+1)^{2}.
  • Então o termo geral é
\frac{3 n^{2}+n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
  • Para somar séries racionais assim, um método padrão e eficiente é fazer uma decomposição em frações parciais no tipo
\frac{3 n^{2}+n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n^{2}}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^{2}},
porque os polos são n (com multiplicidade 2) e n+1 (com multiplicidade 2). Essa forma permite transformar a soma numa combinação de séries conhecidas e, possivelmente, em termos telescópicos.

Passo 3

Determinar os coeficientes da decomposição:
  • Multiplicando ambos os lados por n^{2}(n+1)^{2}\) obtemos a identidade polinomial \[3n^{2}+n+1 = A\,n(n+1)^{2} + B\,(n+1)^{2} + C\,n^{2}(n+1) + D\,n^{2}.
  • Expansão dos termos do lado direito:
A\,n(n+1)^{2} = A(n^{3}+2n^{2}+n),
B\,(n+1)^{2} = B(n^{2}+2n+1),
C\,n^{2}(n+1) = C(n^{3}+n^{2}),
D\,n^{2}=D n^{2}.
  • Somando tudo e agrupando potências de n dá:
3n^{2}+n+1 = (A+C)\,n^{3} + (2A+B+C+D)\,n^{2} + (A+2B)\,n + B.
  • Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo (que tem coeficiente 0 em n^{3}):
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] 2A + B + C + D = 3,\\[4pt] A + 2B = 1,\\[4pt] B = 1. \end{cases}
  • Da última equação B=1\]. Substituindo em \(A+2B=1 obtemos A+2=1\Rightarrow A=-1.
  • De A+C=0 vem C=1. Finalmente, de 2A+B+C+D=3 temos 2(-1)+1+1+D=3\Rightarrow D=3.]

Passo 4

Escrever a decomposição encontrada e interpretar termos:
  • Logo
\frac{3 n^{2}+n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = -\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n+1}+\frac{3}{(n+1)^{2}}.
  • Portanto a série original é a soma termo a termo das quatro séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n+1}+\frac{3}{(n+1)^{2}}\right).

Passo 5

Separar a soma e tratar a parte telescópica (as parcelas com 1/n):
  • Agrupando as duas primeiras frações harmônicas:
\sum_{n=1}^{N}\left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right) = -\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1}.
  • Explicando o telescópio: escrever as somas explicitamente,
-\Bigl(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{N}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\Bigr),
os termos \frac{1}{2},\dots,\frac{1}{N} cancelam dois a dois, sobrando
-\;1+\frac{1}{N+1}.
  • Ao deixar N\to\infty isso tende a -1. Ou seja,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right) = -1.
  • Esse passo é importante: mesmo que cada uma das séries harmônicas isoladas diverja, a combinação aqui converge por cancelamento telescópico.

Passo 6

Somar as parcelas com quadrados ( 1/n^{2} e 1/(n+1)^{2}):
  • A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é convergente e tem o valor clássico (resultado de Euler, conhecido como problema de Basel)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \zeta(2) = \frac{\pi^{2}}{6}.
  • A outra soma deslocada é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}} = \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} = \zeta(2)-1 = \frac{\pi^{2}}{6}-1.
  • Multiplicando por 3 a parcela correspondente, obtemos
3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}} = 3\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right) = \frac{\pi^{2}}{2}-3.

Passo 7

Juntar todas as contribuições e calcular a soma final:
  • Soma total S é a soma da parte telescópica com as duas somas de quadrados:
S = \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)}_{=-1} +\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}_{=\frac{\pi^{2}}{6}} +\underbrace{3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}}_{=\frac{\pi^{2}}{2}-3}.
  • Somando os termos relacionados a \pi^{2}:
\frac{\pi^{2}}{6}+\frac{\pi^{2}}{2} = \frac{\pi^{2}}{6}+\frac{3\pi^{2}}{6} = \frac{4\pi^{2}}{6} = \frac{2\pi^{2}}{3}.
  • Somando as constantes:
-1 + \bigl(-3\bigr) = -4.
  • Portanto
S = \frac{2\pi^{2}}{3} - 4.

Passo 8

Observações finais e convergência:
  • A série converge (na verdade converge absolutamente) porque o termo geral é da ordem de O(1/n^{2}) quando n\to\infty; a decomposição mostrou que tudo se reduz a séries convergentes mais um termo telescópico que também converge.
  • Resultado final obtido de forma exata e fechada: \dfrac{2\pi^{2}}{3}-4.

Resposta

\dfrac{2\pi^{2}}{3}-4

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