porque os polos são n (com multiplicidade 2) e n+1 (com multiplicidade 2). Essa forma permite transformar a soma numa combinação de séries conhecidas e, possivelmente, em termos telescópicos.
Passo 3
Determinar os coeficientes da decomposição:
Multiplicando ambos os lados por n^{2}(n+1)^{2}\) obtemos a identidade polinomial
\[3n^{2}+n+1 = A\,n(n+1)^{2} + B\,(n+1)^{2} + C\,n^{2}(n+1) + D\,n^{2}.
Expansão dos termos do lado direito:
A\,n(n+1)^{2} = A(n^{3}+2n^{2}+n),
B\,(n+1)^{2} = B(n^{2}+2n+1),
C\,n^{2}(n+1) = C(n^{3}+n^{2}),
D\,n^{2}=D n^{2}.
Somando tudo e agrupando potências de n dá:
3n^{2}+n+1 = (A+C)\,n^{3} + (2A+B+C+D)\,n^{2} + (A+2B)\,n + B.
Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo (que tem coeficiente 0 em n^{3}):
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] 2A + B + C + D = 3,\\[4pt] A + 2B = 1,\\[4pt] B = 1. \end{cases}
Da última equação B=1\]. Substituindo em \(A+2B=1 obtemos A+2=1\Rightarrow A=-1.
De A+C=0 vem C=1. Finalmente, de 2A+B+C+D=3 temos 2(-1)+1+1+D=3\Rightarrow D=3.]
Passo 4
Escrever a decomposição encontrada e interpretar termos:
Juntar todas as contribuições e calcular a soma final:
Soma total S é a soma da parte telescópica com as duas somas de quadrados:
S = \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)}_{=-1} +\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}_{=\frac{\pi^{2}}{6}} +\underbrace{3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}}_{=\frac{\pi^{2}}{2}-3}.
A série converge (na verdade converge absolutamente) porque o termo geral é da ordem de O(1/n^{2}) quando n\to\infty; a decomposição mostrou que tudo se reduz a séries convergentes mais um termo telescópico que também converge.
Resultado final obtido de forma exata e fechada: \dfrac{2\pi^{2}}{3}-4.