Considere a função exponencial f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} de lei \mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{\mathrm{x}}+1.
Determine: ( 0,5 ponto)
a) f(-3)
b) x quando f(x)=17

Passo 1

O enunciado dá a função exponencial f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+}^{*} definida por
f(x)=2^{x}+1.
As perguntas são:
  • (a) Calcular f(-3).
  • (b) Determinar x tal que f(x)=17.
Informações relevantes fornecidas:
  • A lei da função é f(x)=2^{x}+1.
  • Para (a) deve-se substituir x=-3.
  • Para (b) deve-se resolver a equação 2^{x}+1=17.

Passo 2

Entendendo como avaliar uma potência com expoente negativo: por definição de potências, para qualquer inteiro positivo n vale
2^{-n}=\frac{1}{2^{n}}.
Aqui o expoente é -3, portanto
2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}.
Calcule 2^{3}: 2^{3}=2\cdot2\cdot2=8. Logo
2^{-3}=\frac{1}{8}.
Agora substituímos em f(x)=2^{x}+1 para x=-3:
f(-3)=2^{-3}+1=\frac{1}{8}+1.
Somando a fração com 1 (escrevendo 1=\dfrac{8}{8}) obtemos
\frac{1}{8}+1=\frac{1}{8}+\frac{8}{8}=\frac{9}{8}.
Também é útil ver o valor em decimal:
\frac{9}{8}=1{,}125.

Passo 3

Agora vamos resolver a equação pedida em (b). Começamos com a igualdade dada:
f(x)=17\quad\Longrightarrow\quad 2^{x}+1=17.
Subtraindo 1 de ambos os lados para isolar a potência:
2^{x}=17-1=16.

Passo 4

Reconhecendo potências de 2: calcule algumas potências pequenas
2^{1}=2,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{4}=16.
Como 2^{4}=16, temos imediatamente
2^{x}=16 \Longrightarrow x=4.
(Alternativa com logaritmo, para ver outra técnica: tomar logaritmo na base 2 x=\log_{2}16. Usando mudança de base, x=\dfrac{\ln 16}{\ln 2}=\dfrac{\ln(2^{4})}{\ln 2}=\dfrac{4\ln 2}{\ln 2}=4.)

Passo 5

Resumo didático e dica rápida para a prova: quando tiver 2^{x}+c=k, primeiro isole 2^{x} subtraindo c. Em muitos exercícios os resultados serão potências inteiras de 2 (como 8,16,32), aí basta comparar com a tabela rápida de potências 2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},\dots. Se não for potência inteira, use logaritmo \log_{2} ou \ln e a mudança de base.

Resposta

\dfrac{9}{8} \;(\text{ou }1{,}125)
x=4

Exercícios relacionados