Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).
Passo 1
O enunciado pede um esboço completo do gráfico de
indicando:
- o domínio;
- as interseções com os eixos (se houver);
- as assíntotas (se houver);
- os pontos críticos (se houver);
- os intervalos de crescimento e decrescimento;
- os extremos relativos (se houver);
- os intervalos de concavidade para cima e para baixo;
- os pontos de inflexão (se houver).
Informações dadas explicitamente: a fórmula da função
. Não há figura fornecida. A resolução a seguir vai extrair todas as informações da própria expressão e usar análise diferenciável para obter monotonia, extremos e concavidade.
Passo 2
Simplificar a expressão onde possível, mantendo a condição de domínio. Para
podemos dividir cada termo por
:
Esta forma é útil para estudar comportamento para
grande e para derivar. Lembre-se: a simplificação não remove a restrição
;
ainda não pertence ao domínio.
Passo 3
Determinar o domínio e as interseções com os eixos.
- Domínio:
aparece no denominador, então
- Interseção com o eixo
: é o valor . Mas , portanto não há interseção com o eixo . - Interseção com o eixo
: resolver .
Logo existe uma raiz em
. (Valor aproximado:
.)
Passo 4
Procurar assíntotas verticais e comportamento perto delas.
-
está fora do domínio, então é candidata a assíntota vertical. Calcular limites laterais:
Portanto
é uma assíntota vertical, com
ao aproximar pela direita e
pela esquerda.
- Assíntotas para
: comparar com :
Isto significa que o gráfico se aproxima da parábola
quando
. Em linguagem de assíntotas polinomiais,
é uma assíntota polinomial (assíntota “parabólica”). Não existe assíntota horizontal nem oblíqua linear; o comportamento dominante é quadrático.
Passo 5
Calcular a derivada primeira para estudar monotonia e pontos críticos. Usando
:
Explicação curta: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 6
Encontrar pontos críticos (onde
ou
indefinida).
-
indefinida em (mas não pertence ao domínio). - Resolver
:
Assim
é o único ponto crítico interno ao domínio. Calcular o valor:
Portanto ponto crítico
.
Passo 7
Analisar o sinal de
e concluir intervalos de crescimento/decrescimento.
Usar a forma . Observações:
Usar a forma
- O fator
e são sempre positivos para (pois ), então o sinal de é o mesmo de . - Zeros de
em . Testar intervalos: - Para
: então ⇒ (decresce). - Para
: ⇒ então ⇒ (cresce). - Para
: ⇒ (cresce).
Conclusão:
- Para
-
é decrescente em . -
é crescente em e em .
Passo 8
Determinar natureza do ponto crítico em
. Pelo teste de monotonia:
muda de negativo para positivo em
, portanto
é um mínimo local. Conferir com segunda derivada (ver passo 9) também confirma mínimo.
Passo 9
Calcular a derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão. A partir de
:
Explicação: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 10
Analisar pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
- Zeros de
: resolver :
Assim há candidato a ponto de inflexão em
. O valor da função nesse ponto é
(isto é, coincide com a raiz).
- Analisar sinal de
: - Para
: e . Numerador negativo, denominador negativo ⇒ . Então em a função é côncava para cima. - Para
: denominador , numerador ⇒ . Então em é côncava para baixo. - Para
: e ⇒ . Então em é côncava para cima.
- Para
- Conclusão:
é ponto de inflexão (a concavidade muda de para baixo para para cima). Coordenada do ponto de inflexão: .
Passo 11
Síntese do comportamento global e dicas para o esboço (como desenhar passo a passo).
- Para
: cresce muito e fica muito positiva; aproxima-se da parábola por cima (porque quando ). - Em
: a curva desce até o mínimo em sendo côncava para cima. - Em
: a curva sobe, ainda côncava para cima, e diverge para quando (assíntota vertical em ). - Em
: a curva sai de (depois da assíntota vertical) e é crescente em . - Em
: a curva está crescendo mas é côncava para baixo; cruza o eixo em (ponto de inflexão também). - Em
: a curva é crescente e côncava para cima e aproxima-se da parábola por baixo (porque quando ). - Pontos notáveis para marcar no esboço:
(mínimo local), (zero e ponto de inflexão), assíntota vertical , e a parábola como assíntota polinomial para grandes. - Valores auxiliares (para orientar o desenho):
, . Esses pontos ajudam a posicionar a curva à direita.
Agora já tens todas as informações necessárias para traçar o esboço: desenhar a parábola
pontilhada como guia, marcar a reta vertical
(assíntota), plotar os pontos
,
, os pontos
e
e ligar tudo respeitando monotonia e concavidade descritas acima.
Resposta
Domínio:
Interseções com eixos: interseção com o eixo
em
. Sem interseção com o eixo
(pois
não pertence ao domínio).
Assíntotas: assíntota vertical
com
e
. Assíntota polinomial (parabólica)
pois
.
Pontos críticos:
(único ponto crítico no domínio), com
.
Intervalos de crescimento/decrescimento:
- Crescente em
e em . - Decrescente em
.
Extremos relativos: mínimo local em
. Não há máximo local.
Concavidade e pontos de inflexão:
- Côncava para cima em
e em . - Côncava para baixo em
. - Ponto de inflexão em
.