Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).
f(x)=\frac{x^{3}-2}{x}

Passo 1

O enunciado pede um esboço completo do gráfico de f(x)=\dfrac{x^{3}-2}{x} indicando:
  • o domínio;
  • as interseções com os eixos (se houver);
  • as assíntotas (se houver);
  • os pontos críticos (se houver);
  • os intervalos de crescimento e decrescimento;
  • os extremos relativos (se houver);
  • os intervalos de concavidade para cima e para baixo;
  • os pontos de inflexão (se houver).
Informações dadas explicitamente: a fórmula da função f(x)=\dfrac{x^{3}-2}{x}. Não há figura fornecida. A resolução a seguir vai extrair todas as informações da própria expressão e usar análise diferenciável para obter monotonia, extremos e concavidade.

Passo 2

Simplificar a expressão onde possível, mantendo a condição de domínio. Para x\neq0 podemos dividir cada termo por x:
f(x)=\frac{x^3-2}{x}=x^2-\frac{2}{x},\qquad x\neq0.
Esta forma é útil para estudar comportamento para x grande e para derivar. Lembre-se: a simplificação não remove a restrição x\neq0; x=0 ainda não pertence ao domínio.

Passo 3

Determinar o domínio e as interseções com os eixos.
  • Domínio: x aparece no denominador, então
\text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Interseção com o eixo y: é o valor f(0). Mas 0\notin\text{dom}(f), portanto não há interseção com o eixo y.
  • Interseção com o eixo x: resolver f(x)=0.
\frac{x^3-2}{x}=0 \Longleftrightarrow x^3-2=0 \Longrightarrow x=\sqrt[3]{2}.
Logo existe uma raiz em \left(\sqrt[3]{2},\,0\right). (Valor aproximado: \sqrt[3]{2}\approx1{,}26.)

Passo 4

Procurar assíntotas verticais e comportamento perto delas.
  • x=0 está fora do domínio, então é candidata a assíntota vertical. Calcular limites laterais:
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\Big(x^2-\frac{2}{x}\Big)=-\infty,
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\Big(x^2-\frac{2}{x}\Big)=+\infty.
Portanto x=0 é uma assíntota vertical, com f(x)\to-\infty ao aproximar pela direita e f(x)\to+\infty pela esquerda.
  • Assíntotas para |x|\to\infty: comparar f(x) com y=x^2:
f(x)-x^2=-\frac{2}{x}\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-x^2\big)=0.
Isto significa que o gráfico se aproxima da parábola y=x^2 quando |x|\to\infty. Em linguagem de assíntotas polinomiais, y=x^2 é uma assíntota polinomial (assíntota “parabólica”). Não existe assíntota horizontal nem oblíqua linear; o comportamento dominante é quadrático.

Passo 5

Calcular a derivada primeira para estudar monotonia e pontos críticos. Usando f(x)=x^2-2x^{-1}:
f'(x)=2x+2x^{-2}=\frac{2x^3+2}{x^2}=\frac{2(x^3+1)}{x^2},\qquad x\neq0.
Explicação curta: derivada de x^2 é 2x; derivada de -2x^{-1} é -2\cdot(-1)x^{-2}=2x^{-2}.

Passo 6

Encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida).
  • f'(x) indefinida em x=0 (mas 0 não pertence ao domínio).
  • Resolver f'(x)=0:
\frac{2(x^3+1)}{x^2}=0 \Longleftrightarrow x^3+1=0 \Longrightarrow x=-1.
Assim x=-1 é o único ponto crítico interno ao domínio. Calcular o valor:
f(-1)=(-1)^2-\frac{2}{-1}=1+2=3.
Portanto ponto crítico (-1,\,3).

Passo 7

Analisar o sinal de f'(x) e concluir intervalos de crescimento/decrescimento.
Usar a forma \displaystyle f'(x)=\frac{2(x^3+1)}{x^2}. Observações:
  • O fator 2 e x^2 são sempre positivos para x\neq0 (pois x^2>0), então o sinal de f' é o mesmo de x^3+1.
  • Zeros de x^3+1 em x=-1. Testar intervalos:
    • Para x<-1: x^3<-1 então x^3+1<0 f'(x)<0 (decresce).
    • Para -1<x<0: -1<x<0 x^3\in(-1,0) então x^3+1>0 f'(x)>0 (cresce).
    • Para x>0: x^3+1>0 f'(x)>0 (cresce).
      Conclusão:
  • f é decrescente em (-\infty,-1).
  • f é crescente em (-1,0) e em (0,\infty).

Passo 8

Determinar natureza do ponto crítico em x=-1. Pelo teste de monotonia: f' muda de negativo para positivo em x=-1, portanto x=-1 é um mínimo local. Conferir com segunda derivada (ver passo 9) também confirma mínimo.

Passo 9

Calcular a derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão. A partir de f'(x)=2x+2x^{-2}:
f''(x)=2-4x^{-3}=2-\frac{4}{x^3}=\frac{2x^3-4}{x^3}=\frac{2(x^3-2)}{x^3},\qquad x\neq0.
Explicação: derivada de 2x é 2; derivada de 2x^{-2} é 2\cdot(-2)x^{-3}=-4x^{-3}.

Passo 10

Analisar pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
  • Zeros de f'': resolver f''(x)=0:
\frac{2(x^3-2)}{x^3}=0 \Longleftrightarrow x^3-2=0 \Longrightarrow x=\sqrt[3]{2}.
Assim há candidato a ponto de inflexão em x=\sqrt[3]{2}. O valor da função nesse ponto é f\big(\sqrt[3]{2}\big)=0 (isto é, coincide com a raiz).
  • Analisar sinal de f'':
    • Para x<0: x^3<0 e x^3-2<0. Numerador negativo, denominador negativo ⇒ f''(x)>0. Então em (-\infty,0) a função é côncava para cima.
    • Para 0<x<\sqrt[3]{2}: denominador x^3>0, numerador x^3-2<0 f''(x)<0. Então em (0,\sqrt[3]{2}) é côncava para baixo.
    • Para x>\sqrt[3]{2}: x^3-2>0 e x^3>0 f''(x)>0. Então em (\sqrt[3]{2},\infty) é côncava para cima.
  • Conclusão: x=\sqrt[3]{2} é ponto de inflexão (a concavidade muda de para baixo para para cima). Coordenada do ponto de inflexão: \big(\sqrt[3]{2},\,0\big).

Passo 11

Síntese do comportamento global e dicas para o esboço (como desenhar passo a passo).
  • Para x\to-\infty: f(x)\sim x^2 cresce muito e fica muito positiva; aproxima-se da parábola y=x^2 por cima (porque f(x)-x^2=-2/x>0 quando x<0).
  • Em (-\infty,-1): a curva desce até o mínimo em (-1,3) sendo côncava para cima.
  • Em (-1,0): a curva sobe, ainda côncava para cima, e diverge para +\infty quando x\to0^- (assíntota vertical em x=0).
  • Em x\to0^+: a curva sai de -\infty (depois da assíntota vertical) e é crescente em (0,\infty).
  • Em (0,\sqrt[3]{2}): a curva está crescendo mas é côncava para baixo; cruza o eixo x em x=\sqrt[3]{2} (ponto de inflexão também).
  • Em (\sqrt[3]{2},\infty): a curva é crescente e côncava para cima e aproxima-se da parábola y=x^2 por baixo (porque f(x)-x^2=-2/x<0 quando x>0).
  • Pontos notáveis para marcar no esboço: (-1,3) (mínimo local), \big(\sqrt[3]{2},0\big) (zero e ponto de inflexão), assíntota vertical x=0, e a parábola y=x^2 como assíntota polinomial para |x| grandes.
  • Valores auxiliares (para orientar o desenho): f(1)=1-2=-1, f(2)=4-1=3. Esses pontos ajudam a posicionar a curva à direita.
Agora já tens todas as informações necessárias para traçar o esboço: desenhar a parábola y=x^2 pontilhada como guia, marcar a reta vertical x=0 (assíntota), plotar os pontos (-1,3), \big(\sqrt[3]{2},0\big), os pontos (1,-1) e (2,3) e ligar tudo respeitando monotonia e concavidade descritas acima.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}
Interseções com eixos: interseção com o eixo x em \big(\sqrt[3]{2},\,0\big). Sem interseção com o eixo y (pois x=0 não pertence ao domínio).
Assíntotas: assíntota vertical x=0 com \lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty e \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty. Assíntota polinomial (parabólica) y=x^2 pois \lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-x^2\big)=0.
Pontos críticos: x=-1 (único ponto crítico no domínio), com f(-1)=3.
Intervalos de crescimento/decrescimento:
  • Crescente em (-1,0) e em (0,\infty).
  • Decrescente em (-\infty,-1).
Extremos relativos: mínimo local em (-1,\,3). Não há máximo local.
Concavidade e pontos de inflexão:
  • Côncava para cima em (-\infty,0) e em (\sqrt[3]{2},\infty).
  • Côncava para baixo em (0,\sqrt[3]{2}).
  • Ponto de inflexão em \big(\sqrt[3]{2},\,0\big).

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