1. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr).
O conteúdo aqui é reconhecer uma série telescópica e usar soma parcial seguida de limite para n \to\infty.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N:
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr).
Agora expandimos os primeiros termos para enxergar o padrão de cancelamento:
S_{N} = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{1}} - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) + \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}} - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) + \cdots + \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{N}} - \tfrac{1}{\sqrt{N+1}}\Bigr).

Passo 3

Observando a soma parcial vemos que quase todos os termos internos cancelam em pares. Ficam apenas o primeiro positivo e o último negativo:
S_{N} = \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{N+1}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{N+1}}.

Passo 4

Para obter a soma da série, tomamos o limite de S_{N} quando N\to\infty. Como
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{\sqrt{N+1}} = 0,
segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr) = \lim_{N\to\infty}S_{N} = 1 - 0 = 1.

Resposta

A soma da série é 1.

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