Seja f(x)=\sqrt{e^{x}+8}.
a. (1,5 ponto) Calcule f^{\prime}(x).
b. ( 0,5 ponto) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto com abseissa 0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\sqrt{e^x+8}
e pede (a) sua derivada e (b) a equação da reta tangente em x=0. Para isso vamos usar a regra da cadeia e a derivada de e^x.

Passo 2

Escrevendo
f(x)=(e^x+8)^{1/2},
aplicamos a regra da cadeia: se f(u)=u^{1/2} então f'(u)=\tfrac12u^{-1/2} e u(x)=e^x+8 u'(x)=e^x. Logo
f'(x) =\frac12\,(e^x+8)^{-1/2}\cdot e^x =\frac{e^x}{2\sqrt{e^x+8}}.

Passo 3

No ponto x=0 temos
f(0)=\sqrt{e^0+8}=\sqrt{9}=3
e
f'(0)=\frac{e^0}{2\sqrt{e^0+8}} =\frac{1}{2\cdot3} =\frac{1}{6}.

Passo 4

A reta tangente em (0,f(0))=(0,3) com coeficiente angular m=f'(0)=\tfrac16 fica
y-3=\frac{1}{6}(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{6}x+3.

Resposta

a) f'(x)=\frac{e^x}{2\sqrt{e^x+8}}
b) y=\frac{1}{6}x+3

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