1. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
  • A soma é tomada de n=1 até n\to\infty.
  • Cada a_n é um número real (observe que \frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}, então a_n>0 para todo n).
    O que se pede: determinar o valor numérico da soma, caso ela convirja.

Passo 2

Definição prática: para calcular a soma de uma série, primeiro consideramos as somas parciais. Defina a soma parcial de ordem N por
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).
A série converge se e somente se a sequência (S_N)_{N\ge1} tiver limite finito quando N\to\infty. Nosso objetivo é achar uma expressão fechada para S_N e depois tomar o limite N\to\infty.

Passo 3

Escrevendo explicitamente os primeiros termos da soma parcial para ver o padrão:
\begin{aligned} S_N &= \left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{\sqrt{N}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right). \end{aligned}
Agora observe o cancelamento termo a termo: o -\frac{1}{\sqrt{2}} do primeiro par cancela com o +\frac{1}{\sqrt{2}} do segundo par; o -\frac{1}{\sqrt{3}} do segundo cancela com o +\frac{1}{\sqrt{3}} do terceiro; e assim por diante. Após esses cancelamentos, sobram apenas dois termos não canceláveis: o primeiro positivo \frac{1}{\sqrt{1}} e o último negativo -\frac{1}{\sqrt{N+1}}. Portanto
S_N=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}.

Passo 4

Simplificando \frac{1}{\sqrt{1}}=1, temos
S_N=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}.
Para obter a soma da série, tomamos o limite quando N\to\infty. Sabemos que \sqrt{N+1}\to\infty quando N\to\infty, logo
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{\sqrt{N+1}}=0.
Portanto
\lim_{N\to\infty}S_N=1-0=1.

Passo 5

Interpretação final e comentários práticos para a prova:
  • A série é telescópica: os termos internos se cancelam quando escrevemos as somas parciais; aprender a escrever os primeiros termos é a técnica-chave para reconhecer e resolver esse tipo de série rapidamente.
  • Como todos os a_n são positivos, a convergência da série é direta pelo cálculo do limite das somas parciais; além disso, como os termos são positivos, a soma absoluta é a própria soma, ou seja, a série é absolutamente convergente no sentido trivial (não há sinal alternante aqui).
  • Exemplo rápido para treinar: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1. Mesma ideia de cancelamento.

Resposta

1

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