Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma é tomada de
até . - Cada
é um número real (observe que , então para todo ).
O que se pede: determinar o valor numérico da soma, caso ela convirja.
Passo 2
Definição prática: para calcular a soma de uma série, primeiro consideramos as somas parciais. Defina a soma parcial de ordem
por
A série converge se e somente se a sequência
tiver limite finito quando
. Nosso objetivo é achar uma expressão fechada para
e depois tomar o limite
.
Passo 3
Escrevendo explicitamente os primeiros termos da soma parcial para ver o padrão:
Agora observe o cancelamento termo a termo: o
do primeiro par cancela com o
do segundo par; o
do segundo cancela com o
do terceiro; e assim por diante. Após esses cancelamentos, sobram apenas dois termos não canceláveis: o primeiro positivo
e o último negativo
. Portanto
Passo 4
Simplificando
, temos
Para obter a soma da série, tomamos o limite quando
. Sabemos que
quando
, logo
Portanto
Passo 5
Interpretação final e comentários práticos para a prova:
- A série é telescópica: os termos internos se cancelam quando escrevemos as somas parciais; aprender a escrever os primeiros termos é a técnica-chave para reconhecer e resolver esse tipo de série rapidamente.
- Como todos os
são positivos, a convergência da série é direta pelo cálculo do limite das somas parciais; além disso, como os termos são positivos, a soma absoluta é a própria soma, ou seja, a série é absolutamente convergente no sentido trivial (não há sinal alternante aqui). - Exemplo rápido para treinar:
. Mesma ideia de cancelamento.