Passo 1
Vou deixar clarinho o que o problema pede e o que ele nos dá. O enunciado é a série
Pergunta: essa série converge ou diverge?
Informações úteis que o enunciado dá (ou que podemos notar):
- O termo geral é
. - Para
grande, é um número pequeno e positivo, logo . - Queremos estudar a soma dos
quando vai para .
Passo 2
Idéia de resolução (sem calcular ainda): quando os argumentos são pequenos, a função seno se comporta de forma parecida com a identidade. Em linguagem técnica comum de provas, vale
Vou demonstrar essa identidade clássica de forma simples, porque é a peça chave para comparar
com
.
Passo 3
Demonstração do limite
por desigualdades e Teorema do Aperto (squeeze):
Considere
.
- Note a função
. Tem derivada nesse intervalo, e . Logo , ou seja
- Considere
. Tem derivada e . Logo . Dividindo essa desigualdade por (positivo) obtemos
Rearranjando obtemos
Agora aplique o Teorema do Aperto: como
, segue que
Passo 4
Aplicando o resultado do passo anterior ao nosso termo com
, obtemos
Isto diz que
é assintoticamente equivalente a
quando
.
Passo 5
Vou usar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Enunciado do teste (em palavras simples):
- Se
e para todo e existe o limite finito e positivo
então
e
tem o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
No nosso caso escolha
e
. Pelo passo anterior
(que é finito e
). Logo a série
converge se, e somente se, a série harmônica
convergir.
Passo 6
Sabemos que a série harmônica
diverge (é um resultado clássico; por exemplo, pelo teste da integral
ou pelo argumento de agrupamento dos termos). Portanto, pela comparação por limite com
, a nossa série também diverge.
Se quiser um argumento ainda mais elementar: como o limite da razão é
, existe
tal que para todo
ou seja
. Como
diverge, por comparação direta os termos da série original também têm soma divergente.
Resposta
A série
diverge.