1. \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

Vou deixar clarinho o que o problema pede e o que ele nos dá. O enunciado é a série
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right).
Pergunta: essa série converge ou diverge?
Informações úteis que o enunciado dá (ou que podemos notar):
  • O termo geral é a_n=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
  • Para n grande, \dfrac{1}{n} é um número pequeno e positivo, logo \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right)>0.
  • Queremos estudar a soma dos a_n quando n vai para +\infty.

Passo 2

Idéia de resolução (sem calcular ainda): quando os argumentos são pequenos, a função seno se comporta de forma parecida com a identidade. Em linguagem técnica comum de provas, vale
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Vou demonstrar essa identidade clássica de forma simples, porque é a peça chave para comparar \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right) com \dfrac{1}{n}.

Passo 3

Demonstração do limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1 por desigualdades e Teorema do Aperto (squeeze):
Considere x\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right].
  • Note a função f(x)=x-\operatorname{sen}(x). Tem derivada f'(x)=1-\cos x\ge 0 nesse intervalo, e f(0)=0. Logo f(x)\ge0, ou seja
\operatorname{sen}(x)\le x.
  • Considere g(x)=\tan(x)-x. Tem derivada g'(x)=\operatorname{sec}^2 x-1=\tan^2 x\ge0 e g(0)=0. Logo \tan(x)\ge x. Dividindo essa desigualdade por \tan(x) (positivo) obtemos
1\ge \frac{x}{\tan(x)}=\cos(x)\cdot\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}.
Rearranjando obtemos
\cos(x)\le \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\le 1.
Agora aplique o Teorema do Aperto: como \lim_{x\to0}\cos(x)=1, segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.

Passo 4

Aplicando o resultado do passo anterior ao nosso termo com x=\dfrac{1}{n}, obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}=1.
Isto diz que \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right) é assintoticamente equivalente a \dfrac{1}{n} quando n\to\infty.

Passo 5

Vou usar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Enunciado do teste (em palavras simples):
  • Se a_n>0 e b_n>0 para todo n e existe o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\quad\text{com}\quad 0<L<\infty,
então \sum a_n e \sum b_n tem o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
No nosso caso escolha a_n=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right) e b_n=\dfrac{1}{n}. Pelo passo anterior L=1 (que é finito e >0). Logo a série \sum \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right) converge se, e somente se, a série harmônica \sum \dfrac{1}{n} convergir.

Passo 6

Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge (é um resultado clássico; por exemplo, pelo teste da integral \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=+\infty ou pelo argumento de agrupamento dos termos). Portanto, pela comparação por limite com L=1, a nossa série também diverge.
Se quiser um argumento ainda mais elementar: como o limite da razão é 1, existe N tal que para todo n\ge N
\frac{\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}>\frac{1}{2},
ou seja \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)>\dfrac{1}{2n}. Como \sum \dfrac{1}{2n}=\tfrac{1}{2}\sum \dfrac{1}{n} diverge, por comparação direta os termos da série original também têm soma divergente.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right) diverge.

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