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- O significado da representação decimal de um número
(onde o algarismo
é um dos números
) é que
Mostre que essa série sempre converge.
Passo 1
Vou identificar claramente o que cada item pede e quais dados temos.
- Item 36: pede estudar a série
. Preciso decidir se a série converge e, se possível, obter uma expressão conveniente e um valor numérico aproximado. - Item 37: explica o significado da representação decimal
como a série (onde cada ) e pede que se mostre que essa série sempre converge.
Informações relevantes dadas:
- Para 36: os termos são positivos
. - Para 37: cada termo da série é não negativo e satisfaz
.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
(Conceitos úteis e técnica que vou usar)
- Geometricamente: a série geométrica com razão
satisfaz . Para a versão que começa em temos . - Teste da comparação: se
para todo e converge, então também converge.
Vou aplicar isso ao item 36 para provar convergência e depois obter uma expressão útil; para 37 aplicarei comparação com uma geométrica simples.
Passo 3
(Item 36 — prova simples de convergência por comparação)
Note que, para todo ,
Note que, para todo
portanto
A série
é uma série geométrica com razão
e soma
, logo converge. Pelo teste da comparação, a série
converge também. (Isto prova convergência absoluta, já que os termos são positivos.)
Passo 4
(Item 36 — representação como série manipulável)
Para tentar uma forma fechada ou pelo menos uma expansão útil, escrevemos cada termo como
Para tentar uma forma fechada ou pelo menos uma expansão útil, escrevemos cada termo como
Como
, podemos usar a expansão geométrica
com
. Assim
Somando em
e trocando somas (justificado porque as somas são absolutamente convergentes, já que os termos são dominados por uma geométrica), obtemos a representação
A soma interna é geométrica com razão
(e
para todo
), logo
Portanto uma forma exata (em série sobre
) é
Isto é uma identidade exata, que pode ser útil teoricamente.
Passo 5
(Item 36 — aproximação numérica e controle do erro)
Na prática, para a prova pode bastar saber que a série converge e que se pode aproximar com a soma parcial. Pelo teste da comparação temos um controle fácil do resto (erro de truncamento): a partir de ,
Na prática, para a prova pode bastar saber que a série converge e que se pode aproximar com a soma parcial. Pelo teste da comparação temos um controle fácil do resto (erro de truncamento): a partir de
Assim, somando os primeiros
termos obtém-se um erro at most
. Por exemplo, com
o erro é no máximo
. Calculando a soma parcial até
(somando
para
) obtém-se, com esse erro garantido, a aproximação
Logo dá para fornecer essa aproximação com segurança numa prova se for pedido valor numérico.
Passo 6
(Item 37 — provar que a série decimal sempre converge)
A série em questão é
A série em questão é
com
. Comparando termo a termo,
A série
é geométrica com razão
e soma
portanto converge. Pelo teste da comparação, como todos os termos são não-negativos e dominados por uma série convergente, a série
converge. Além disso, por serem termos não negativos, a soma está entre
e
:
Isto explica matematicamente por que toda expansão decimal dá um número bem definido.
Resposta
A série