1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+4^{n}}
  2. O significado da representação decimal de um número 0, d_{1} d_{2} d_{3} \ldots (onde o algarismo d_{i} é um dos números 0,1,2, \ldots, 9 ) é que
0, d_{1} d_{2} d_{3} d_{4} \ldots=\frac{d_{1}}{10}+\frac{d_{2}}{10^{2}}+\frac{d_{3}}{10^{3}}+\frac{d_{4}}{10^{4}}+\cdots
Mostre que essa série sempre converge.

Passo 1

Vou identificar claramente o que cada item pede e quais dados temos.
  • Item 36: pede estudar a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}+4^{n}}. Preciso decidir se a série converge e, se possível, obter uma expressão conveniente e um valor numérico aproximado.
  • Item 37: explica o significado da representação decimal \,0,d_{1}d_{2}d_{3}\ldots como a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}}{10^{k}} (onde cada d_{k}\in\{0,1,\dots,9\}) e pede que se mostre que essa série sempre converge.
Informações relevantes dadas:
  • Para 36: os termos são positivos a_{n}=\dfrac{1}{3^{n}+4^{n}}>0.
  • Para 37: cada termo da série é não negativo e satisfaz 0\le d_{k}\le 9.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

(Conceitos úteis e técnica que vou usar)
  • Geometricamente: a série geométrica com razão |r|<1 satisfaz \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}. Para a versão que começa em n=1 temos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
  • Teste da comparação: se 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge.
    Vou aplicar isso ao item 36 para provar convergência e depois obter uma expressão útil; para 37 aplicarei comparação com uma geométrica simples.

Passo 3

(Item 36 — prova simples de convergência por comparação)
Note que, para todo n,
3^{n}+4^{n}\ge 4^{n},
portanto
0<\frac{1}{3^{n}+4^{n}}\le \frac{1}{4^{n}}.
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}} é uma série geométrica com razão r=\tfrac{1}{4} e soma \dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac{1}{3}, logo converge. Pelo teste da comparação, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}+4^{n}} converge também. (Isto prova convergência absoluta, já que os termos são positivos.)

Passo 4

(Item 36 — representação como série manipulável)
Para tentar uma forma fechada ou pelo menos uma expansão útil, escrevemos cada termo como
\frac{1}{3^{n}+4^{n}}=\frac{1}{4^{n}}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}.
Como 0<\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}<1, podemos usar a expansão geométrica \dfrac{1}{1+x}=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}x^{m} com x=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}. Assim
\frac{1}{3^{n}+4^{n}} =\frac{1}{4^{n}}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\left(\frac{3}{4}\right)^{nm} =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{3^{nm}}{4^{n(m+1)}}.
Somando em n e trocando somas (justificado porque as somas são absolutamente convergentes, já que os termos são dominados por uma geométrica), obtemos a representação
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}+4^{n}} =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3^{m}}{4^{m+1}}\right)^{n}.
A soma interna é geométrica com razão r_m=\dfrac{3^{m}}{4^{m+1}}=(1/4)\left(3/4\right)^{m} (e |r_m|<1 para todo m), logo
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3^{m}}{4^{m+1}}\right)^{n} =\frac{\dfrac{3^{m}}{4^{m+1}}}{1-\dfrac{3^{m}}{4^{m+1}}} =\frac{3^{m}}{4^{m+1}-3^{m}}.
Portanto uma forma exata (em série sobre m) é
\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}+4^{n}} =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\,\frac{3^{m}}{4^{m+1}-3^{m}}.}
Isto é uma identidade exata, que pode ser útil teoricamente.

Passo 5

(Item 36 — aproximação numérica e controle do erro)
Na prática, para a prova pode bastar saber que a série converge e que se pode aproximar com a soma parcial. Pelo teste da comparação temos um controle fácil do resto (erro de truncamento): a partir de N,
R_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}+4^{n}} \le \sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}} =\frac{1}{4^{N+1}}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{4}} =\frac{1}{3\cdot 4^{N}}.
Assim, somando os primeiros N termos obtém-se um erro at most \dfrac{1}{3\cdot4^{N}}. Por exemplo, com N=8 o erro é no máximo \dfrac{1}{3\cdot4^{8}}=\dfrac{1}{196608}\approx 5{,}09\times10^{-6}. Calculando a soma parcial até n=8 (somando 1/(3^{n}+4^{n}) para n=1,\dots,8) obtém-se, com esse erro garantido, a aproximação
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}+4^{n}}\approx 0,197877\quad(\text{erro}\le 5{,}1\times10^{-6}).
Logo dá para fornecer essa aproximação com segurança numa prova se for pedido valor numérico.

Passo 6

(Item 37 — provar que a série decimal sempre converge)
A série em questão é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}}{10^{k}},
com 0\le d_{k}\le 9. Comparando termo a termo,
0\le \frac{d_{k}}{10^{k}}\le \frac{9}{10^{k}}.
A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{9}{10^{k}}=9\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{k} é geométrica com razão 1/10 e soma
9\cdot\frac{\tfrac{1}{10}}{1-\tfrac{1}{10}}=9\cdot\frac{1}{9}=1,
portanto converge. Pelo teste da comparação, como todos os termos são não-negativos e dominados por uma série convergente, a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}}{10^{k}} converge. Além disso, por serem termos não negativos, a soma está entre 0 e 1:
0\le \sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}}{10^{k}}\le 1.
Isto explica matematicamente por que toda expansão decimal dá um número bem definido.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}+4^{n}} \approx 0,197877
A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_{k}}{10^{k}} converge (absolutamente); além disso 0\le \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{d_{k}}{10^{k}}\le 1.

Exercícios relacionados