Seja \left(a_{n}\right) uma sucessão convergindo para a \in \mathbb{R}. Mostre que a sucessão \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} a_{j} converge também para a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a sequência (a_n) converge para a\in\mathbb{R}, então suas médias de Cesàro
s_n = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n a_j
também convergem para a. O conteúdo aqui é limite de sequência e usaremos o critério \varepsilon N, juntamente com uma decomposição do somatório em duas partes.

Passo 2

Como (a_n) converge para a, ela é limitada; ou seja, existe M>0 tal que
|a_j - a|\le M \quad\text{para todo }j\in\mathbb{N}.
Além disso, dado \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
|a_j - a|<\varepsilon \quad\text{para todo }j>N.

Passo 3

Escrevemos a diferença entre a média e a como
s_n - a = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (a_j - a) = \frac{1}{n}\Bigl(\sum_{j=1}^N (a_j - a) + \sum_{j=N+1}^n (a_j - a)\Bigr).
Tomando valor absoluto e aplicando a desigualdade triangular,
\bigl|s_n - a\bigr| \le \frac{1}{n}\sum_{j=1}^N |a_j - a| + \frac{1}{n}\sum_{j=N+1}^n |a_j - a|.
Para a primeira soma, como N é fixo,
\frac{1}{n}\sum_{j=1}^N |a_j - a| \le \frac{1}{n}(N\cdot M) = \frac{NM}{n},
que tende a zero quando n\to\infty. Para a segunda, usando |a_j - a|<\varepsilon sempre que j>N,
\frac{1}{n}\sum_{j=N+1}^n |a_j - a| \le \frac{n-N}{n}\,\varepsilon \le \varepsilon.

Passo 4

Combinando as duas parcelas, obtemos
\bigl|s_n - a\bigr| \le \frac{NM}{n} + \varepsilon.
Dado \varepsilon>0, basta escolher n suficientemente grande para que \frac{NM}{n}<\varepsilon, e então
\bigl|s_n - a\bigr|<2\varepsilon.
Como \varepsilon é arbitrário, concluímos que s_n\to a.

Resposta

A média de Cesàro
\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n a_j
converge para a.

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