Seja \left(a_{n}\right) uma sucessão convergindo para a \in \mathbb{R}. Mostre que a sucessão \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} a_{j} converge também para a.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a sequência (a_n) converge para a\in\mathbb{R}, então suas médias de Cesàro
s_n = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n a_j
também convergem para a. O conteúdo aqui é limite de sequência e usaremos o critério \varepsilon–N, juntamente com uma decomposição do somatório em duas partes.
Passo 2
Como (a_n) converge para a, ela é limitada; ou seja, existe M>0 tal que
|a_j - a|\le M \quad\text{para todo }j\in\mathbb{N}.
Além disso, dado \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
|a_j - a|<\varepsilon \quad\text{para todo }j>N.
Passo 3
Escrevemos a diferença entre a média e a como
s_n - a = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (a_j - a) = \frac{1}{n}\Bigl(\sum_{j=1}^N (a_j - a) + \sum_{j=N+1}^n (a_j - a)\Bigr).
Tomando valor absoluto e aplicando a desigualdade triangular,