Se \sum_{x=5}^{n+5} 4(x-3)=A n^{2}+B n+C, calcule o valor de A+B.

Passo 1

O enunciado dá a soma
\sum_{x=5}^{n+5} 4(x-3)=A n^{2}+B n+C
e pede que eu calcule o valor de A+B.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A soma é indexada por x indo de 5 até n+5.
  • O somando é 4(x-3).
  • O resultado da soma é um polinômio em n da forma A n^{2}+B n+C.
  • Preciso encontrar A+B (não é necessário achar C, mas vou encontrar A, B e C para ter certeza).

Passo 2

Usar propriedade linear da soma para simplificar o somando: constante pode sair da soma e soma de termos pode ser separada. Assim,
\sum_{x=5}^{n+5} 4(x-3)=4\sum_{x=5}^{n+5}(x-3).
Explicação curta: somatório é linear, então \sum (k\cdot f(x)) = k\sum f(x) e \sum (f(x)-g) = \sum f(x) - g\cdot N, onde N é o número de termos.
Também preciso do número de termos da soma. Como x vai de 5 até n+5, o número de termos é
N=(n+5)-5+1=n+1.

Passo 3

Calcular \sum_{x=5}^{n+5} x. Uso a fórmula da soma dos primeiros inteiros:
\sum_{k=1}^{m} k=\frac{m(m+1)}{2}.
Então
\sum_{x=5}^{n+5} x=\sum_{k=1}^{n+5} k-\sum_{k=1}^{4} k =\frac{(n+5)(n+6)}{2}-\frac{4\cdot5}{2}.
Calculo os termos numéricos:
\frac{4\cdot5}{2}=\frac{20}{2}=10.
Portanto
\sum_{x=5}^{n+5} x=\frac{(n+5)(n+6)}{2}-10.

Passo 4

Agora computo \sum_{x=5}^{n+5}(x-3) usando que é \sum x - 3\cdot N:
\sum_{x=5}^{n+5}(x-3) =\left(\frac{(n+5)(n+6)}{2}-10\right)-3(n+1).
Faço as simplificações passo a passo. Primeiro expando (n+5)(n+6):
(n+5)(n+6)=n^{2}+11n+30.
Assim
\frac{(n+5)(n+6)}{2}-10=\frac{n^{2}+11n+30}{2}-10 =\frac{n^{2}+11n+30-20}{2} =\frac{n^{2}+11n+10}{2}.
Subtraindo 3(n+1)=3n+3:
\sum_{x=5}^{n+5}(x-3)=\frac{n^{2}+11n+10}{2}-(3n+3).
Coloco tudo sobre o mesmo denominador 2:
\sum_{x=5}^{n+5}(x-3)=\frac{n^{2}+11n+10-2(3n+3)}{2} =\frac{n^{2}+11n+10-6n-6}{2} =\frac{n^{2}+5n+4}{2}.

Passo 5

Volto à expressão inicial multiplicando por 4:
\sum_{x=5}^{n+5}4(x-3)=4\cdot\frac{n^{2}+5n+4}{2}=2\bigl(n^{2}+5n+4\bigr).
Agora distribuo o 2:
2\bigl(n^{2}+5n+4\bigr)=2n^{2}+10n+8.
Logo os coeficientes são A=2, B=10 e C=8.

Passo 6

Peço A+B, então
A+B=2+10=12.
Você conseguiu! Só seguir as etapas de linearidade da soma e fórmula da soma dos inteiros — aqui deu tudo certinho.

Resposta

12

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