Classifique as sentenças abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F):
a) Na P.G. em que
e
, todos os termos são positivos.
b) Na P.G. em que
e
, todos os termos são negativos.
c) Na P.G. em que
e
, todos os termos são negativos.
d) Na P.G. em que
e
, todos os termos são negativos.
e) Na P.G. de números reais em que
e
, os sinais dos termos são alternados, isto é, a P.G. é alternante.
f) Na P.G. alternante, todos os termos de índice ímpar têmo sinal de
os de índice par têm sinal contrário ao de
.
g) Se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, então a P.G. é alternante.
h) Existe uma P.G. de números reais em que
e
.
i) Existe uma P.G. de números reais em que
e
.
j) Se
, a P.G. é crescente.
k) Se
e
, a P.G. é crescente.
l) Se
, a P.G. é crescente.
a) Na P.G. em que
b) Na P.G. em que
c) Na P.G. em que
d) Na P.G. em que
e) Na P.G. de números reais em que
f) Na P.G. alternante, todos os termos de índice ímpar têmo sinal de
g) Se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, então a P.G. é alternante.
h) Existe uma P.G. de números reais em que
i) Existe uma P.G. de números reais em que
j) Se
k) Se
l) Se
Passo 1
O que o exercício pede: classificar cada uma das sentenças (a) a (l) como verdadeira (V) ou falsa (F).
Informações relevantes e notação que vamos usar (todas extraídas do enunciado ou padrão de P.G.):
- A sequência é uma progressão geométrica (P.G.) de termos reais.
- Denotação dos termos:
. - Razão da P.G.:
. - Fórmula geral do termo
-ésimo: .
Não começarei a resolver ainda; só deixei claro o pedido e os dados que temos.
Passo 2
Definição e fórmula-chave (mini-aula rápida e essencial).
Uma P.G. é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante . A fórmula que usamos para analisar sinais e crescimento é
Uma P.G. é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante
onde:
-
é o -ésimo termo; -
é o primeiro termo (pode ser positivo, negativo ou zero); -
é a razão (pode ser positiva, negativa, zero, maior ou menor que 1); -
é um inteiro positivo.
Vamos usar essa fórmula para inferir o sinal de
e comportamento monotônico da sequência.
Passo 3
Comportamento dos sinais — regra prática (mini-aula didática):
- Se
, então para todo . Logo o sinal de é o mesmo de para todo . Assim, com não há alternância de sinais. - Se
e , então . Assim o sinal de é . Ou seja: - para
ímpar ( par) tem o mesmo sinal de ; - para
par ( ímpar) tem sinal oposto ao de .
Isso é o que chamamos P.G. alternante.
- para
- Se
, então pode ser qualquer coisa, mas e para . Nessa situação não há alternância de sinais entre termos não nulos (a maioria é zero). - Observação útil: se dois termos
e têm sinais opostos, então . Isso implica que (e que é ímpar). Esse argumento será usado para a afirmação (g).
Passo 4
Comportamento monotônico (mini-aula rápida):
- Para uma P.G. os termos crescem ou decrescem dependendo de
e do sinal de . - Se todos os termos são positivos (isto é,
e ), então: - se
a sequência é estritamente crescente (cada termo maior que o anterior); - se
a sequência é estritamente decrescente (cada termo menor que o anterior); - se
a sequência é constante.
- se
- Se
e , todos os termos são negativos; o comportamento crescente/decrescente obedece às mesmas regras numéricas, mas com sinais negativos (por exemplo, se e então os termos ficam mais negativos, isto é, numericamente a sequência é decrescente). - Se
não há uma monotonicidade simples (por exemplo, sinais alternam) — dizer apenas “q>0 implica crescente” é falso porque falta comparar com .
Passo 5
Avaliação da afirmação (a): “Na P.G. em que
e
, todos os termos são positivos.”
Raciocínio: pela fórmula , com
e
temos
e produto de positivos é positivo.
Conclusão: (a) é verdadeira.
Raciocínio: pela fórmula
Conclusão: (a) é verdadeira.
Passo 6
Avaliação da afirmação (b): “Na P.G. em que
e
, todos os termos são negativos.”
Raciocínio: com e
temos
e
tem o mesmo sinal de
, ou seja negativo.
Conclusão: (b) é verdadeira.
Raciocínio: com
Conclusão: (b) é verdadeira.
Passo 7
Avaliação da afirmação (c): “Na P.G. em que
e
, todos os termos são negativos.”
Raciocínio: com e
os sinais alternam:
,
,
, etc. Nem todos são negativos.
Conclusão: (c) é falsa.
Raciocínio: com
Conclusão: (c) é falsa.
Passo 8
Avaliação da afirmação (d): “Na P.G. em que
e
, todos os termos são negativos.”
Raciocínio: com e
novamente há alternância:
,
,
, … Nem todos são negativos.
Conclusão: (d) é falsa.
Raciocínio: com
Conclusão: (d) é falsa.
Passo 9
Avaliação da afirmação (e): “Na P.G. de números reais em que
e
, os sinais dos termos são alternados, isto é, a P.G. é alternante.”
Raciocínio: já visto: implica
. Como
, nenhum termo é forçosamente zero e o sinal de
é
, ou seja alternância de sinais.
Conclusão: (e) é verdadeira.
Raciocínio: já visto:
Conclusão: (e) é verdadeira.
Passo 10
Avaliação da afirmação (f): “Na P.G. alternante, todos os termos de índice ímpar têm sinal de
e os de índice par têm sinal contrário ao de
.”
Raciocínio: isso decorre diretamente do item anterior: para ímpar
é par então
tem mesmo sinal de
; para
par
é ímpar então sinal oposto.
Conclusão: (f) é verdadeira.
Raciocínio: isso decorre diretamente do item anterior: para
Conclusão: (f) é verdadeira.
Passo 11
Avaliação da afirmação (g): “Se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, então a P.G. é alternante.”
Raciocínio detalhado: suponha existirem índices tais que
e
têm sinais opostos. Então
Raciocínio detalhado: suponha existirem índices
Para uma potência inteira
ser negativa é necessário que
e que
seja ímpar. Além disso, se
e
têm sinais opostos, isso implica que
(pois se
todos os termos seriam zero). Então
e
, e por (e) isso caracteriza uma P.G. alternante.
Conclusão: (g) é verdadeira.
Conclusão: (g) é verdadeira.
Passo 12
Avaliação da afirmação (h): “Existe uma P.G. de números reais em que
e
.”
Raciocínio: use a fórmula dos sinais: e
. Se
então
e
(potências pares). Assim
e
têm o mesmo sinal de
. Portanto não é possível ter
positivo e
negativo. (Se
não dá, porque muitos termos são zero.) Logo não existe tal P.G.
Conclusão: (h) é falsa.
Raciocínio: use a fórmula dos sinais:
Conclusão: (h) é falsa.
Passo 13
Avaliação da afirmação (i): “Existe uma P.G. de números reais em que
e
.”
Raciocínio: queremos com
. Isso exige
, logo
(e 19 é ímpar). Exemplo concreto: escolha
e
. Então
. Assim existe sim.
Conclusão: (i) é verdadeira.
Raciocínio: queremos
Conclusão: (i) é verdadeira.
Passo 14
Avaliação da afirmação (j): “Se
, a P.G. é crescente.”
Raciocínio: isto é falso porque, por exemplo, se a P.G. com
é decrescente. O sinal de
também importa: se
e
os termos ficam mais negativos (a sequência numérica decresce). Então apenas
não garante crescimento.
Contraexemplo simples: ,
dá
que é decrescente.
Conclusão: (j) é falsa.
Raciocínio: isto é falso porque, por exemplo, se
Contraexemplo simples:
Conclusão: (j) é falsa.
Passo 15
Avaliação da afirmação (k): “Se
e
, a P.G. é crescente.”
Raciocínio: igualmente falso, porque se e
a sequência é decrescente. Exemplo:
,
novamente dá decrescente. Para que seja crescente com
é necessário ter
.
Conclusão: (k) é falsa.
Raciocínio: igualmente falso, porque se
Conclusão: (k) é falsa.
Passo 16
Avaliação da afirmação (l): “Se
, a P.G. é crescente.”
Raciocínio: não é automaticamente verdade: se mas
, então
é negativo com maior magnitude, e numericamente
(mais negativo), então a sequência é decrescente. Portanto apenas
não garante que a sequência seja crescente; é preciso também que
. Exemplo:
,
dá
que é estritamente decrescente.
Conclusão: (l) é falsa.
Raciocínio: não é automaticamente verdade: se
Conclusão: (l) é falsa.
Resposta
a) V
b) V
c) F
d) F
e) V
f) V
g) V
h) F
i) V
j) F
k) F
l) F
b) V
c) F
d) F
e) V
f) V
g) V
h) F
i) V
j) F
k) F
l) F