Classifique as sentenças abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F):
a) Na P.G. em que a_{1}>0 e q>0, todos os termos são positivos.
b) Na P.G. em que a_{1}<0 e q>0, todos os termos são negativos.
c) Na P.G. em que a_{1}>0 e q<0, todos os termos são negativos.
d) Na P.G. em que a_{1}<0 e q<0, todos os termos são negativos.
e) Na P.G. de números reais em que q<0 e a_{1} \neq 0, os sinais dos termos são alternados, isto é, a P.G. é alternante.
f) Na P.G. alternante, todos os termos de índice ímpar têmo sinal de \mathrm{a}_{1} \mathrm{e} os de índice par têm sinal contrário ao de \mathrm{a}_{1}.
g) Se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, então a P.G. é alternante.
h) Existe uma P.G. de números reais em que \mathrm{a}_{3}>0 e \mathrm{a}_{21}<0.
i) Existe uma P.G. de números reais em que \mathrm{a}_{1}>0 e \mathrm{a}_{20}<0.
j) Se q>0, a P.G. é crescente.
k) Se a_{1}>0 e q>0, a P.G. é crescente.
l) Se \mathrm{q}>1, a P.G. é crescente.

Passo 1

O que o exercício pede: classificar cada uma das sentenças (a) a (l) como verdadeira (V) ou falsa (F).
Informações relevantes e notação que vamos usar (todas extraídas do enunciado ou padrão de P.G.):
  • A sequência é uma progressão geométrica (P.G.) de termos reais.
  • Denotação dos termos: a_1,a_2,\dots,a_n,\dots.
  • Razão da P.G.: q.
  • Fórmula geral do termo n-ésimo: a_n = a_1 q^{\,n-1}.
Não começarei a resolver ainda; só deixei claro o pedido e os dados que temos.

Passo 2

Definição e fórmula-chave (mini-aula rápida e essencial).
Uma P.G. é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante q. A fórmula que usamos para analisar sinais e crescimento é
a_n = a_1 q^{\,n-1},
onde:
  • \,a_n é o n-ésimo termo;
  • \,a_1 é o primeiro termo (pode ser positivo, negativo ou zero);
  • \,q é a razão (pode ser positiva, negativa, zero, maior ou menor que 1);
  • n é um inteiro positivo.
Vamos usar essa fórmula para inferir o sinal de a_n e comportamento monotônico da sequência.

Passo 3

Comportamento dos sinais — regra prática (mini-aula didática):
  • Se \,q>0, então q^{\,n-1}>0 para todo n. Logo o sinal de a_n é o mesmo de \,a_1 para todo n. Assim, com \,q>0 não há alternância de sinais.
  • Se \,q<0 e \,a_1\neq 0, então q^{\,n-1}=(-1)^{\,n-1}\cdot|q|^{\,n-1}. Assim o sinal de a_n é \text{sign}(a_1)\cdot(-1)^{\,n-1}. Ou seja:
    • para n ímpar ( n-1 par) a_n tem o mesmo sinal de a_1;
    • para n par ( n-1 ímpar) a_n tem sinal oposto ao de a_1.
      Isso é o que chamamos P.G. alternante.
  • Se \,q=0, então a_1 pode ser qualquer coisa, mas a_2=a_1\cdot0=0 e a_n=0 para n\ge2. Nessa situação não há alternância de sinais entre termos não nulos (a maioria é zero).
  • Observação útil: se dois termos a_m e a_n têm sinais opostos, então \dfrac{a_m}{a_n}=q^{\,m-n}<0. Isso implica que q<0 (e que m-n é ímpar). Esse argumento será usado para a afirmação (g).

Passo 4

Comportamento monotônico (mini-aula rápida):
  • Para uma P.G. os termos crescem ou decrescem dependendo de q e do sinal de a_1.
  • Se todos os termos são positivos (isto é, a_1>0 e q>0), então:
    • se q>1 a sequência é estritamente crescente (cada termo maior que o anterior);
    • se 0<q<1 a sequência é estritamente decrescente (cada termo menor que o anterior);
    • se q=1 a sequência é constante.
  • Se a_1<0 e q>0, todos os termos são negativos; o comportamento crescente/decrescente obedece às mesmas regras numéricas, mas com sinais negativos (por exemplo, se q>1 e a_1<0 então os termos ficam mais negativos, isto é, numericamente a sequência é decrescente).
  • Se q<0 não há uma monotonicidade simples (por exemplo, sinais alternam) — dizer apenas “q>0 implica crescente” é falso porque falta comparar com 1.

Passo 5

Avaliação da afirmação (a): “Na P.G. em que a_{1}>0 e q>0, todos os termos são positivos.”
Raciocínio: pela fórmula a_n=a_1 q^{\,n-1}, com a_1>0 e q>0 temos q^{\,n-1}>0 e produto de positivos é positivo.
Conclusão: (a) é verdadeira.

Passo 6

Avaliação da afirmação (b): “Na P.G. em que a_{1}<0 e q>0, todos os termos são negativos.”
Raciocínio: com a_1<0 e q>0 temos q^{\,n-1}>0 e a_n tem o mesmo sinal de a_1, ou seja negativo.
Conclusão: (b) é verdadeira.

Passo 7

Avaliação da afirmação (c): “Na P.G. em que a_{1}>0 e q<0, todos os termos são negativos.”
Raciocínio: com a_1>0 e q<0 os sinais alternam: a_1>0, a_2=a_1 q<0, a_3=a_1 q^2>0, etc. Nem todos são negativos.
Conclusão: (c) é falsa.

Passo 8

Avaliação da afirmação (d): “Na P.G. em que a_{1}<0 e q<0, todos os termos são negativos.”
Raciocínio: com a_1<0 e q<0 novamente há alternância: a_1<0, a_2>0, a_3<0, … Nem todos são negativos.
Conclusão: (d) é falsa.

Passo 9

Avaliação da afirmação (e): “Na P.G. de números reais em que q<0 e a_{1} \neq 0, os sinais dos termos são alternados, isto é, a P.G. é alternante.”
Raciocínio: já visto: q<0 implica q^{\,n-1}=(-1)^{\,n-1}|q|^{\,n-1}. Como a_1\neq0, nenhum termo é forçosamente zero e o sinal de a_n é \text{sign}(a_1)\cdot(-1)^{\,n-1}, ou seja alternância de sinais.
Conclusão: (e) é verdadeira.

Passo 10

Avaliação da afirmação (f): “Na P.G. alternante, todos os termos de índice ímpar têm sinal de a_{1} e os de índice par têm sinal contrário ao de a_{1}.”
Raciocínio: isso decorre diretamente do item anterior: para n ímpar n-1 é par então a_n tem mesmo sinal de a_1; para n par n-1 é ímpar então sinal oposto.
Conclusão: (f) é verdadeira.

Passo 11

Avaliação da afirmação (g): “Se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, então a P.G. é alternante.”
Raciocínio detalhado: suponha existirem índices m,n tais que a_m e a_n têm sinais opostos. Então
\frac{a_m}{a_n} = q^{\,m-n} < 0.
Para uma potência inteira q^{\,m-n} ser negativa é necessário que q<0 e que m-n seja ímpar. Além disso, se a_m e a_n têm sinais opostos, isso implica que a_1\neq0 (pois se a_1=0 todos os termos seriam zero). Então q<0 e a_1\neq0, e por (e) isso caracteriza uma P.G. alternante.
Conclusão: (g) é verdadeira.

Passo 12

Avaliação da afirmação (h): “Existe uma P.G. de números reais em que a_{3}>0 e a_{21}<0.”
Raciocínio: use a fórmula dos sinais: a_3 = a_1 q^{2} e a_{21}=a_1 q^{20}. Se q\neq0 então q^{2}>0 e q^{20}>0 (potências pares). Assim a_3 e a_{21} têm o mesmo sinal de a_1. Portanto não é possível ter a_3 positivo e a_{21} negativo. (Se q=0 não dá, porque muitos termos são zero.) Logo não existe tal P.G.
Conclusão: (h) é falsa.

Passo 13

Avaliação da afirmação (i): “Existe uma P.G. de números reais em que a_{1}>0 e a_{20}<0.”
Raciocínio: queremos a_{20}=a_1 q^{19}<0 com a_1>0. Isso exige q^{19}<0, logo q<0 (e 19 é ímpar). Exemplo concreto: escolha a_1=1 e q=-1. Então a_{20}=1\cdot(-1)^{19}=-1<0. Assim existe sim.
Conclusão: (i) é verdadeira.

Passo 14

Avaliação da afirmação (j): “Se q>0, a P.G. é crescente.”
Raciocínio: isto é falso porque, por exemplo, se 0<q<1 a P.G. com a_1>0 é decrescente. O sinal de a_1 também importa: se a_1<0 e q>1 os termos ficam mais negativos (a sequência numérica decresce). Então apenas q>0 não garante crescimento.
Contraexemplo simples: a_1=1, q=\tfrac12 1,\tfrac12,\tfrac14,\dots que é decrescente.
Conclusão: (j) é falsa.

Passo 15

Avaliação da afirmação (k): “Se a_{1}>0 e q>0, a P.G. é crescente.”
Raciocínio: igualmente falso, porque se 0<q<1 e a_1>0 a sequência é decrescente. Exemplo: a_1=1, q=\tfrac12 novamente dá decrescente. Para que seja crescente com a_1>0 é necessário ter q>1.
Conclusão: (k) é falsa.

Passo 16

Avaliação da afirmação (l): “Se q>1, a P.G. é crescente.”
Raciocínio: não é automaticamente verdade: se q>1 mas a_1<0, então a_2=a_1 q é negativo com maior magnitude, e numericamente a_2<a_1 (mais negativo), então a sequência é decrescente. Portanto apenas q>1 não garante que a sequência seja crescente; é preciso também que a_1>0. Exemplo: a_1=-1, q=2 -1,-2,-4,\dots que é estritamente decrescente.
Conclusão: (l) é falsa.

Resposta

a) V
b) V
c) F
d) F
e) V
f) V
g) V
h) F
i) V
j) F
k) F
l) F

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