Qual é o número que deve ser somado a 1, 9 e 15 para termos, nessa ordem, três números em P.G.?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o número que deve ser somado a 1, 9 e 15 para que, nessa ordem, os três resultados formem uma progressão geométrica (P.G.).
Informações dadas:
  • Os três números originais são 1, 9 e 15.
  • Deve-se somar o mesmo número desconhecido a cada um desses três valores.
    O que se quer: determinar esse número desconhecido.

Passo 2

Definição útil (mini-aula): três números a, b, c estão em P.G. (naquela ordem) se e só se o quociente entre termos consecutivos é constante, isto é, existe r tal que
\frac{b}{a}=r\quad\text{e}\quad\frac{c}{b}=r.
Uma outra condição equivalente e muito prática é a relação
b^{2}=a\,c,
porque se \frac{b}{a}=\frac{c}{b}=r então b^{2}=a c. Vou usar essa condição porque evita introduzir r explicitamente e dá uma equação direta.

Passo 3

Coloco o número desconhecido como uma variável. Seja x o número que vamos somar a cada um. Então os três termos novos são:
a=1+x,\qquad b=9+x,\qquad c=15+x.
Queremos que esses três números estejam em P.G., logo devemos ter
(9+x)^{2}=(1+x)(15+x).

Passo 4

Agora desenvolvo a equação passo a passo (explicando cada termo):
Primeiro expando o lado esquerdo:
(9+x)^{2}=x^{2}+18x+81.
Depois expando o lado direito usando a distribuição:
(1+x)(15+x)=x^{2}+16x+15.

Passo 5

Igualando os dois lados e simplificando:
x^{2}+18x+81 = x^{2}+16x+15.
Posso subtrair x^{2} dos dois lados (isso elimina os quadrados):
18x+81 = 16x+15.
Em seguida subtraio 16x dos dois lados:
2x+81 = 15.
Agora subtraio 81:
2x = 15-81 = -66.
Dividindo por 2:
x = -33.

Passo 6

Checagem (sempre verifique na prova): somando x=-33 aos números originais obtemos
1+(-33)=-32,\qquad 9+(-33)=-24,\qquad 15+(-33)=-18.
Verifico as razões:
\frac{-24}{-32}=\frac{3}{4}=0{,}75,\qquad \frac{-18}{-24}=\frac{3}{4}=0{,}75.
As razões são iguais, logo os três números estão realmente em P.G. com razão r=\dfrac{3}{4}. Tudo confere.

Resposta

-33

Exercícios relacionados