Qual é o número que deve ser somado a 1, 9 e 15 para termos, nessa ordem, três números em P.G.?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o número que deve ser somado a
,
e
para que, nessa ordem, os três resultados formem uma progressão geométrica (P.G.).
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os três números originais são
, e . - Deve-se somar o mesmo número desconhecido a cada um desses três valores.
O que se quer: determinar esse número desconhecido.
Passo 2
Definição útil (mini-aula): três números
,
,
estão em P.G. (naquela ordem) se e só se o quociente entre termos consecutivos é constante, isto é, existe
tal que
Uma outra condição equivalente e muito prática é a relação
porque se
então
. Vou usar essa condição porque evita introduzir
explicitamente e dá uma equação direta.
Passo 3
Coloco o número desconhecido como uma variável. Seja
o número que vamos somar a cada um. Então os três termos novos são:
Queremos que esses três números estejam em P.G., logo devemos ter
Passo 4
Agora desenvolvo a equação passo a passo (explicando cada termo):
Primeiro expando o lado esquerdo:
Primeiro expando o lado esquerdo:
Depois expando o lado direito usando a distribuição:
Passo 5
Igualando os dois lados e simplificando:
Posso subtrair
dos dois lados (isso elimina os quadrados):
Em seguida subtraio
dos dois lados:
Agora subtraio
:
Dividindo por
:
Passo 6
Checagem (sempre verifique na prova): somando
aos números originais obtemos
Verifico as razões:
As razões são iguais, logo os três números estão realmente em P.G. com razão
. Tudo confere.