1. sumk=1^infty 4 k^2-2 k+68 k^7+k-8

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumk=1^infty4k^2-2k+68k^7+k-8. O conteúdo é teste de convergência de séries de termos gerais racionais, e vamos usar o teste da comparação limite com uma série-p.

Passo 2

Observamos que para k grande o termo geral se comporta como
4k^2-2k+68k^7+k-8sim4k^28k^7=12k^5

Passo 3

Tomamos a série-p sum1k^5, que sabemos convergir porque é uma p-série com p=5>1. Aplicando o teste de comparação limite, calculamos:
L=limktoinfty(4k^2-2k+6)/(8k^7+k-8)1/k^5 =limktoinfty4k^2-2k+68k^7+k-8cdot k^5 =48=tfrac12, que é finito e positivo.

Passo 4

Como L>0 e sum1/k^5 converge, nossa série original também converge absolutamente pelo teste da comparação limite.

Resposta

A série converge absolutamente.

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