1. Suponha que a série sum uk convirja, e a série sum vk divirja. Mostre que as séries sum(uk+vk) e sum(uk-vk) ambas divirjam. [Sugestão: Suponha que sum(uk+vk) convirja e use o Teorema 9.4.3 para obter uma contradição.]

Passo 1

O enunciado: temos duas séries numéricas, uma convergente sum uk e outra divergente sum vk. Precisamos mostrar que as séries sum(uk+vk) e sum(uk-vk) divergem. Para isso vamos usar o Teorema 9.4.3, que garante a linearidade das somas e diferenças de séries convergentes e o recíproco.

Passo 2

Para sum(uk+vk): suponha, por absurdo, que ela converja. Pelo Teorema 9.4.3, como sum(uk+vk) e sum uk convergem, a diferença delas também converge, isto é,
sum(uk+vk)-sum uk=suml[(uk+vk)-ukr]=sum vk
convergiria. Mas isso contradiz a hipótese de que sum vk diverge. Logo sum(uk+vk) não pode convergir.

Passo 3

Para sum(uk-vk): o argumento é análogo. Suponha que sum(uk-vk) converja. Então pelas mesmas propriedades temos
sum uk-sum(uk-vk)=suml[uk-(uk-vk)r]=sum vk
que novamente convergiria, gerando contradição. Portanto sum(uk-vk) diverge também.

Resposta

As séries sum(uk+vk) e sum(uk-vk) divergem.

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