- Suponha que a série
convirja, e a série
divirja. Mostre que as séries
e
ambas divirjam. [Sugestão: Suponha que
convirja e use o Teorema 9.4.3 para obter uma contradição.]
Passo 1
O enunciado: temos duas séries numéricas, uma convergente
e outra divergente
. Precisamos mostrar que as séries
e
divergem. Para isso vamos usar o Teorema 9.4.3, que garante a linearidade das somas e diferenças de séries convergentes e o recíproco.
Passo 2
Para
: suponha, por absurdo, que ela converja. Pelo Teorema 9.4.3, como
e
convergem, a diferença delas também converge, isto é,
convergiria. Mas isso contradiz a hipótese de que
Passo 3
Para
: o argumento é análogo. Suponha que
converja. Então pelas mesmas propriedades temos
que novamente convergiria, gerando contradição. Portanto
Resposta
As séries
e
divergem.