1-2 Faça uma conjectura sobre a convergência ou a divergência da série e confirme-a usando o teste da comparação.
  1. (a) sumk=1^infty 15 k^2-k

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumk=1^infty 15k^2-k usando o teste da comparação. O conteúdo envolve séries de termos não-negativos e o uso do teste da comparação direta com uma série-p conhecida.

Passo 2

Pelo comportamento assintótico, para grandes k temos 5k^2-kapprox5k^2, de modo que 15k^2-k se comporta como 1k^2. Dado que a série-p com p=2 converge, conjecturamos que a série original também converge.

Passo 3

Para confirmar, note que, para todo k>=1:
5k^2-k;=;5k^2-k^2+k^2-k;>=;4k^2,
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15k^2-k;<=;14k^2

Passo 4

Sabendo que
sumk=1^infty14k^2;=;14sumk=1^infty1k^2,
e que sumk=1^infty1k^2 converge (série-p com p=2>1), pelo teste da comparação direta concluímos que a série dada converge.

Resposta

A série sumk=1^infty 15k^2-k converge.

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