Faça o que se pede nos seguintes itens:
a) Obter a solução da equação integro-diferencial
integral0^t y^prime prime(u) y^prime(t-u) d u=y^prime(t)-y(t), y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

A questão pede para resolver a equação integro-diferencial integral0^ty''(u),y'(t-u),du = y'(t)-y(t),y(0)=y'(0)=0Este tipo de problema envolve convoluções de derivadas de y e podemos usar a transformada de Laplace para simplificar a equação.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)=Ly(t), e usando as condições iniciais y(0)=y'(0)=0, temos:
Ll[integral0^ty''(u),y'(t-u),dur]=Ly''(t);Ly'(t)=l(s^2Y(s)r);(sY(s))=s^3Y(s)^2
Do outro lado,
Ly'(t)-y(t)=sY(s)-Y(s)=(s-1)Y(s)

Passo 3

Igualando as transformadas,
s^3Y(s)^2=(s-1)Y(s)
Isso leva a
Y(s)l(s^3Y(s)-(s-1)r)=0,
isto é, ou Y(s)=0 ou s^3Y(s)=s-1 de onde Y(s)=(s-1)/s^3.

Passo 4

Para atender às condições y(0)=y'(0)=0 só a solução Y(s)=0 satisfaz ambas. A outra opção daria y'(0)=1, o que contraria y'(0)=0. Portanto a única solução viável é
y(t)=0

Resposta

y(t)=0

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