sumn=0^infty 1(4 n+1)(4 n+5)=14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente somar uma série infinita da forma sumn=0^infty 1(4n+1)(4n+5) e mostra que o resultado é 14. Então, o assunto aqui é séries infinitas e vamos precisar usar frações parciais pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série usando frações parciais. Isso ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais fáceis de somar. Queremos escrever 1(4n+1)(4n+5) como A4n+1 + B4n+5.
Para encontrar A e B, fazemos:
1(4n+1)(4n+5) = A4n+1 + B4n+5
Multiplicando tudo por (4n+1)(4n+5) pra eliminar os denominadores:
1 = A(4n+5) + B(4n+1)
Expandindo:
1 = (4A + 4B)n + (5A + B)
Agora, igualamos os coeficientes:
4A + 4B = 0 (coeficiente de n)
5A + B = 1 (termo constante)
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, temos A = -B.
Substituindo na segunda equação:
5(-B) + B = 1 Rightarrow -5B + B = 1 Rightarrow -4B = 1 Rightarrow B = -14
Então, A = 14.
Portanto:
1(4n+1)(4n+5) = 1/44n+1 - 1/44n+5

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série original usando essas frações parciais:
sumn=0^infty ( 1/44n+1 - 1/44n+5 )
Podemos fatorar o 14:
14 sumn=0^infty ( 14n+1 - 14n+5 )
Perceba que essa soma é telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando a gente somar.

Passo 4

Vamos expandir os primeiros termos pra ver como funciona o cancelamento:
14 ( ( 11 - 15 ) + ( 15 - 19 ) + ( 19 - 113 ) + dots )
Vemos que -15 cancela com +15, e assim por diante. No final, só sobra o primeiro termo de cada par:
14 ( 11 ) = 14
Como a série é infinita, os termos restantes vão tendendo a zero.

Resposta

14

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