A supercondutividade foi originalmente observada em metais, quando alguns metais são resfriados a baixas temperaturas T e campo magnético B. Os calores específicos destas duas fases, no limite de campo magnético nulo, são
Cs(T)=V alpha T^3 & fase supercondutora Cn(T)=V[beta T^3+gamma T] & fase normal
Obtenha a temperatura de transição TC entre a fase normal e a fase supercondutora como função de alpha, beta e gamma. Leve em consideração o resultado experimental de que não há calor latente nesta transição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me trouxe um exercício sobre supercondutividade, onde temos as expressões dos calores específicos das fases supercondutora e normal em função da temperatura $ T $. Precisamos encontrar a temperatura de transição $ T_C $ entre essas duas fases, considerando que não há calor latente nessa transição. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de calor específico e entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o calor específico $ C $ está relacionado à entropia $ S $ através da relação:
C
Como não há calor latente na transição, as entropias das duas fases devem ser iguais na temperatura de transição $ T_C $. Então, temos:
S

Passo 3

Vamos encontrar as expressões para as entropias das duas fases. Integramos o calor específico dividido pela temperatura:
S = integral CT , dT
Para a fase supercondutora:
Ss(T) = integral Cs(T)T , dT = integral V alpha T^3T , dT = V alpha integral T^2 , dT = V alpha ( T^33 ) + C1
Para a fase normal:
Sn(T) = integral Cn(T)T , dT = integral V (beta T^3 + gamma T)T , dT = V integral (beta T^2 + gamma) , dT = V ( beta T^33 + gamma T ) + C2
Como estamos considerando a entropia relativa a zero temperatura, podemos considerar as constantes de integração $ C_1 $ e $ C_2 $ como zero.

Passo 4

Agora, igualamos as entropias na temperatura de transição $ T_C $:
TC
Podemos simplificar $ V $ dos dois lados:
V alpha ( TC^33 ) = V ( beta TC^33 + gamma TC )

Passo 5

Vamos resolver essa equação para $ T_C $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
TC
Em seguida, trazemos todos os termos para um lado da equação:
alpha TC^3 = beta TC^3 + 3 gamma TC
Fatoramos $ T_C $:
(alpha - beta) TC^3 - 3 gamma TC = 0
Isso nos dá duas soluções: $ T_C = 0 $ ou $ (\alpha - \beta) T_C^2 - 3 \gamma = 0 $. Ignoramos $ T_C = 0 $ porque estamos interessados na transição em uma temperatura positiva. Então:
TC
Resolvendo para $ T_C $:
TC ( (alpha - beta) TC^2 - 3 gamma ) = 0
TC = 0

Resposta

A temperatura de transição $ T_C $ é dada por:
TC

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