A supercondutividade foi originalmente observada em metais, quando alguns metais são resfriados a baixas temperaturas
e campo magnético
. Os calores específicos destas duas fases, no limite de campo magnético nulo, são
Obtenha a temperatura de transição
entre a fase normal e a fase supercondutora como função de
e
. Leve em consideração o resultado experimental de que não há calor latente nesta transição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me trouxe um exercício sobre supercondutividade, onde temos as expressões dos calores específicos das fases supercondutora e normal em função da temperatura $ T $. Precisamos encontrar a temperatura de transição $ T_C $ entre essas duas fases, considerando que não há calor latente nessa transição. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de calor específico e entropia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o calor específico $ C $ está relacionado à entropia $ S $ através da relação:
Como não há calor latente na transição, as entropias das duas fases devem ser iguais na temperatura de transição $ T_C $. Então, temos:
Passo 3
Vamos encontrar as expressões para as entropias das duas fases. Integramos o calor específico dividido pela temperatura:
Para a fase supercondutora:
Para a fase normal:
Como estamos considerando a entropia relativa a zero temperatura, podemos considerar as constantes de integração $ C_1 $ e $ C_2 $ como zero.
Passo 4
Agora, igualamos as entropias na temperatura de transição $ T_C $:
Podemos simplificar $ V $ dos dois lados:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para $ T_C $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
Em seguida, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Fatoramos $ T_C $:
Isso nos dá duas soluções: $ T_C = 0 $ ou $ (\alpha - \beta) T_C^2 - 3 \gamma = 0 $. Ignoramos $ T_C = 0 $ porque estamos interessados na transição em uma temperatura positiva. Então:
Resolvendo para $ T_C $:
Resposta
A temperatura de transição $ T_C $ é dada por: