Considere um sistema onde a energia pode variar na forma de calor ou na forma de trabalho mecânico,
. Mostre que a equação de estado do gás ideal implica em
. Qual seria a equação mais geral possível consistente com uma energia interna que dependa somente da temperatura? Considere agora um modelo que inclua volume excluído e interações - como o de van der Walls. Qual a dependência da energia interna? E de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que trata da termodinâmica, especificamente sobre como a energia interna de um gás se comporta dependendo das condições do sistema. A gente vai precisar entender a primeira lei da termodinâmica, a equação de estado do gás ideal e também dar uma olhada no modelo de van der Waals. Vamos resolver isso passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a primeira lei da termodinâmica, que é basicamente uma versão da conservação de energia para sistemas termodinâmicos. Ela é dada por:
Aqui, $ dE $ é a variação da energia interna do sistema, $ \delta Q $ é o calor fornecido ao sistema, e $ \delta W $ é o trabalho realizado pelo sistema.
Passo 3
Agora, vamos considerar a equação de estado do gás ideal, que relaciona pressão ($ P
V
T
n $):
onde $ R $ é a constante dos gases ideais.
Para mostrar que $ E = E(T) $, ou seja, que a energia interna depende apenas da temperatura, vamos analisar como a energia interna do gás ideal depende dessas variáveis.
Passo 4
No caso do gás ideal, a energia interna $ E $ é uma função apenas da temperatura $ T $. Isso porque, nas condições ideais, não temos interação entre as moléculas, e o volume não afeta a energia interna. Então, podemos escrever:
Isso significa que, para um gás ideal, se a temperatura muda, a energia interna muda, mas se só o volume muda mantendo a temperatura constante, a energia interna permanece a mesma.
Passo 5
Agora, vamos pensar na equação mais geral possível consistente com uma energia interna que depende somente da temperatura. Ou seja, estamos procurando uma forma geral onde $ E $ é função apenas de $ T $.
A equação geral pode ser escrita como:
Isso reafirma que, independentemente das outras variáveis do sistema, se a energia interna depende apenas da temperatura, qualquer mudança na energia interna está exclusivamente ligada às mudanças em $ T $.
Passo 6
Vamos agora considerar um modelo mais realista que inclui volume excluído e interações entre as partículas, como no modelo de van der Waals. A equação de van der Waals ajusta a equação dos gases ideais para levar em conta o volume finito das moléculas e as forças de atração ou repulsão entre elas:
onde $ V_m $ é o volume molar, e $ a $ e $ b $ são parâmetros que representam as interações entre moléculas e o volume excluído, respectivamente.
Passo 7
Com essas considerações, a dependência da energia interna no modelo de van der Waals não depende apenas da temperatura, pois agora há interação entre as moléculas que afeta a energia interna. Portanto, a energia interna $ E $ agora pode depender tanto de $ T $ quanto do volume $ V $:
Isso ocorre porque as interações intermoleculares adicionam termos que dependem do volume.
Passo 8
Quanto à capacidade calorífica a volume constante, $ C_V $, no modelo de van der Waals, como a energia interna agora depende também do volume, a derivada da energia interna em relação à temperatura mantém uma dependência mais complexa. No entanto, geralmente, $ C_V $ ainda depende principalmente de $ T $, mas pode haver correções devido às interações:
Isso indica que $ C_V $ continua relacionado à variação da energia interna com a temperatura, mas as interações podem introduzir termos adicionais.
Resposta
Concluindo, para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura ($ E = E(T) $). A equação mais geral que mantém essa dependência é $ E = E(T)
E = E(T, V)
C_V $) continua sendo principalmente função da temperatura, mas com influências adicionais devido às interações moleculares.