Uma superfície com emissividade 0,75 está a 500 K e troca calor por radiação com um ambiente a 300 K.
Determine o fluxo radiativo líquido.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Emissividade da superfície: \varepsilon=0,75.
  • Temperatura da superfície: T_s=500\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura do ambiente: T_a=300\\ \mathrm{K}.
    O que se pede: determinar o fluxo radiativo líquido (fluxo de calor por radiação líquido) da superfície, em \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 2

Vamos recordar a lei de Stefan–Boltzmann para corpos negros e como ela se aplica a superfícies reais.
A lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência emitida por unidade de área por um corpo negro (emissividade 1) é
E_b=\sigma T^{4},
onde:
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann; vamos usar \sigma=5,67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}},
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Para uma superfície real (cinzenta, opaca) com emissividade \varepsilon a emissão total por unidade de área é
E=\varepsilon\,\sigma\,T^{4}.
Explicação física curta e útil: emissividade \varepsilon mede quão bem a superfície emite em relação a um corpo negro. Além disso, para um corpo opaco em equilíbrio térmico, a absorvidade \alpha para radiação térmica é igual à emissividade ( \alpha=\varepsilon) — isto é o teorema de Kirchhoff.

Passo 3

Agora relacionamos emissão e absorção para obter o fluxo radiativo líquido.
Se a superfície “vê” um ambiente que pode ser tratado como um corpo negro à temperatura T_a (caso usual: ambiente grande ou envoltório negro, fator de vista igual a 1), a radiação incidente absorvida pela superfície é
G_{\text{absorvida}}=\alpha\,\sigma\,T_a^{4}=\varepsilon\,\sigma\,T_a^{4}.
A radiação emitida pela superfície é E=\varepsilon\,\sigma\,T_s^{4}. Portanto o fluxo radiativo líquido (saída positiva quando a superfície perde energia por radiação) é
q_{\text{líquido}}=E-G_{\text{absorvida}}=\varepsilon\,\sigma\!\left(T_s^{4}-T_a^{4}\right).í
Observação: essa fórmula vale quando o ambiente pode ser considerado um corpo negro visto pela superfície (fator geométrico de vista igual a 1). Se o ambiente não fosse negro ou o fator de vista diferente de 1 teríamos que ajustar; aqui tomamos o caso padrão solicitado pelo enunciado.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os números dados. Primeiro calcular T_s^{4} e T_a^{4} de forma explícita:
T_s^{4}=500^{4}=(5\times10^{2})^{4}=5^{4}\times10^{8}=625\times10^{8}=6,25\times10^{10}.
T_a^{4}=300^{4}=(3\times10^{2})^{4}=3^{4}\times10^{8}=81\times10^{8}=8,1\times10^{9}.
Diferença:
T_s^{4}-T_a^{4}=6,25\times10^{10}-8,1\times10^{9}=5,44\times10^{10}.

Passo 5

Calcular o produto com \sigma e \varepsilon:
\sigma\left(T_s^{4}-T_a^{4}\right)=5,67\times10^{-8}\times5,44\times10^{10}.
Para multiplicar as potências:
5,67\times5,44=30,8448, \qquad 10^{-8}\times10^{10}=10^{2}.
Logo
\sigma\left(T_s^{4}-T_a^{4}\right)=30,8448\times10^{2}=3084,48\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Agora multiplicar pela emissividade \varepsilon=0,75:
q_{\text{líquido}}=\varepsilon\,\sigma\left(T_s^{4}-T_a^{4}\right)=0,75\times3084,48=2313,36\\ \mathrm{W/m^{2}}.í

Passo 6

Interpretando o resultado: q_{\text{líquido}}\approx2313\\ \mathrm{W/m^{2}}í significa que, por unidade de área, a superfície está perdendo cerca de 2313\\ \mathrm{W} para o ambiente por radiação (resultado positivo indica fluxo saindo da superfície).

Resposta

2,31\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}}

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