Uma superfície envolve completamente uma carga elétrica
. Existe diferença entre o fluxo elétrico calculado para uma superfície esférica de raio
e o fluxo elétrico para uma superfície cúbica de aresta
?
Passo 1
O enunciado dá que existe uma carga puntiforme
totalmente envolvida por uma superfície fechada. Pergunta se há diferença entre o fluxo elétrico calculado quando a superfície é uma esfera de raio
e quando a superfície é um cubo de aresta
.
Informações relevantes:
- Há uma carga elétrica
completamente dentro de cada superfície considerada (esfera e cubo). - Para a esfera, o raio é
. - Para o cubo, a aresta é
. - A pergunta é comparar os fluxos elétricos
através dessas superfícies e decidir se são diferentes.
Passo 2
O que é fluxo elétrico e como se calcula
- Definição: o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é a integral de superfície do produto escalar entre o campo elétrico
e o vetor área elementar :
- Aqui
é o campo elétrico (vetor) em cada ponto da superfície e é um vetor de módulo igual à área do elemento, apontando para fora da superfície. - Intuição:
mede quantas “linhas de campo” passam por aquele pedacinho de superfície; a integral soma isso sobre toda a superfície.
Passo 3
Cálculo do fluxo para a superfície esférica (exemplo fácil por simetria)
- O campo elétrico de uma carga puntiforme
em distância do ponto carga é dado pela Lei de Coulomb:
onde
é a permissividade do vácuo,
é a distância radial e
é o versor radial (direção de afastamento da carga).
- Em uma esfera de raio
centrada na carga, o campo tem mesma magnitude em toda a esfera e é radial, portanto paralelo ao vetor normal . Assim:
- Substituindo
e , obtemos
- Observação: nesse caso deu um número simples porque a simetria fez
constante sobre a superfície.
Passo 4
Princípio geral que responde a pergunta (Lei de Gauss)
- Há um teorema geral (Lei de Gauss, uma das equações de Maxwell) que diz:
onde
é a carga total contida dentro da superfície fechada.
- Explicando as variáveis:
é o campo elétrico, o vetor área elemento apontando para fora, e a constante do meio (no vácuo). - Intuição/justificativa curta:
- A Lei de Gauss pode ser derivada do teorema da divergência aplicado ao campo elétrico combinado com a relação local entre divergência do campo e densidade de carga:
, onde é a densidade de carga. Integrando sobre o volume e aplicando o teorema da divergência obtém-se a igualdade acima e, integrando sobre o volume, obtém-se . - Uma explicação mais física: as “linhas de campo” que emanam de uma carga puntiforme saem radialmente; o número total de linhas emitidas pela carga é fixo e não depende da forma da superfície que as intercepta — qualquer superfície fechada que envolva a carga intercepta exatamente esse mesmo número total de linhas.
- A Lei de Gauss pode ser derivada do teorema da divergência aplicado ao campo elétrico combinado com a relação local entre divergência do campo e densidade de carga:
- Consequência direta: o fluxo depende somente da carga total dentro da superfície e não da forma ou posição precisa da carga dentro (desde que esteja totalmente envolvida).
Passo 5
Aplicando Gauss ao caso do cubo e conclusão
- No caso do cubo de aresta
que envolve completamente a carga , a carga interna é . - Pela Lei de Gauss:
- Portanto o fluxo através do cubo é exatamente o mesmo que encontramos para a esfera.
- Observações úteis para prova: não é necessário calcular integrais complicadas para a superfície do cubo; basta aplicar a Lei de Gauss. A posição da carga dentro da superfície fechada não altera o valor total do fluxo (apenas a distribuição do fluxo entre as faces muda).
Passo 6
Resumo didático e dica de memorização
- Regra prática que cai na prova: "fluxo total através de qualquer superfície fechada = carga total dentro dividida por
". Memorize . - Intuição: pensar em linhas de campo ajuda — a forma da superfície só redistribui por onde as linhas saem, não muda a quantidade total que atravessa.
Resposta
Não. O fluxo é o mesmo para ambas as superfícies e vale
.