Uma superfície envolve completamente uma carga elétrica q. Existe diferença entre o fluxo elétrico calculado para uma superfície esférica de raio R e o fluxo elétrico para uma superfície cúbica de aresta \ell=R ?

Passo 1

O enunciado dá que existe uma carga puntiforme q totalmente envolvida por uma superfície fechada. Pergunta se há diferença entre o fluxo elétrico calculado quando a superfície é uma esfera de raio R e quando a superfície é um cubo de aresta \ell=R.
Informações relevantes:
  • Há uma carga elétrica q completamente dentro de cada superfície considerada (esfera e cubo).
  • Para a esfera, o raio é R.
  • Para o cubo, a aresta é \ell = R.
  • A pergunta é comparar os fluxos elétricos \Phi através dessas superfícies e decidir se são diferentes.

Passo 2

O que é fluxo elétrico e como se calcula
  • Definição: o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é a integral de superfície do produto escalar entre o campo elétrico \mathbf{E} e o vetor área elementar \mathrm{d}\mathbf{A}:
\Phi = \oint_{\text{superfície}} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}.í
  • Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor) em cada ponto da superfície e \mathrm{d}\mathbf{A} é um vetor de módulo igual à área do elemento, apontando para fora da superfície.
  • Intuição: \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A} mede quantas “linhas de campo” passam por aquele pedacinho de superfície; a integral soma isso sobre toda a superfície.

Passo 3

Cálculo do fluxo para a superfície esférica (exemplo fácil por simetria)
  • O campo elétrico de uma carga puntiforme q em distância r do ponto carga é dado pela Lei de Coulomb:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, r é a distância radial e \hat{\mathbf{r}} é o versor radial (direção de afastamento da carga).
  • Em uma esfera de raio R centrada na carga, o campo tem mesma magnitude em toda a esfera e é radial, portanto paralelo ao vetor normal \mathrm{d}\mathbf{A}. Assim:
\Phi_{\text{esfera}} = \oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A} = E(R)\oint \mathrm{d}A = E(R)\,A_{\text{esfera}}.
  • Substituindo E(R)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^{2}} e A_{\text{esfera}}=4\pi R^{2}, obtemos
\Phi_{\text{esfera}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^{2}}\cdot 4\pi R^{2} = \frac{q}{\varepsilon_0}.
  • Observação: nesse caso deu um número simples porque a simetria fez E constante sobre a superfície.

Passo 4

Princípio geral que responde a pergunta (Lei de Gauss)
  • Há um teorema geral (Lei de Gauss, uma das equações de Maxwell) que diz:
\oint_{\text{superfície fechada}} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},í
onde q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície fechada.
  • Explicando as variáveis: \mathbf{E} é o campo elétrico, \mathrm{d}\mathbf{A} o vetor área elemento apontando para fora, e \varepsilon_0 a constante do meio (no vácuo).
  • Intuição/justificativa curta:
    • A Lei de Gauss pode ser derivada do teorema da divergência aplicado ao campo elétrico combinado com a relação local entre divergência do campo e densidade de carga: \nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0, onde \rho é a densidade de carga. Integrando \nabla\cdot\mathbf{E} sobre o volume e aplicando o teorema da divergência obtém-se a igualdade acima e, integrando \rho sobre o volume, obtém-se q_{\text{enc}}.
    • Uma explicação mais física: as “linhas de campo” que emanam de uma carga puntiforme saem radialmente; o número total de linhas emitidas pela carga é fixo e não depende da forma da superfície que as intercepta — qualquer superfície fechada que envolva a carga intercepta exatamente esse mesmo número total de linhas.
  • Consequência direta: o fluxo depende somente da carga total dentro da superfície e não da forma ou posição precisa da carga dentro (desde que esteja totalmente envolvida).

Passo 5

Aplicando Gauss ao caso do cubo e conclusão
  • No caso do cubo de aresta \ell=R que envolve completamente a carga q, a carga interna é q_{\text{enc}}=q.
  • Pela Lei de Gauss:
\Phi_{\text{cubo}} = \frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0}.
  • Portanto o fluxo através do cubo é exatamente o mesmo que encontramos para a esfera.
  • Observações úteis para prova: não é necessário calcular integrais complicadas para a superfície do cubo; basta aplicar a Lei de Gauss. A posição da carga dentro da superfície fechada não altera o valor total do fluxo (apenas a distribuição do fluxo entre as faces muda).

Passo 6

Resumo didático e dica de memorização
  • Regra prática que cai na prova: "fluxo total através de qualquer superfície fechada = carga total dentro dividida por \varepsilon_0". Memorize \Phi=\dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Intuição: pensar em linhas de campo ajuda — a forma da superfície só redistribui por onde as linhas saem, não muda a quantidade total que atravessa.

Resposta

Não. O fluxo é o mesmo para ambas as superfícies e vale \displaystyle \Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}.

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